Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s09/analiz2_3.ps Дата изменения: Wed May 6 17:39:48 2009 Дата индексирования: Fri Oct 16 23:21:20 2009 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: arp 220

Математический анализ, 1 курс 26.02.2009
3. Свойства дифференциала. Формула Тейлора
Задача 1. Пусть U # R n | открытое подмножество, и пусть функции f 1 ; f 2 : U # R
дифференцируемы в x 0 # U , причем f 2 (x 0 ) #= 0. Докажите, что f 1 =f 2 дифференцируема в
x 0 и
d # f 1
f 2
# (x 0 ) = f 2 (x 0 )df 1 (x 0 ) - f 1 (x 0 )df 2 (x 0 )
f 2 (x 0 ) 2
:
Обозначение. Пусть U # R n | открытое множество и x # U . Для вектора  # T x U и
дифференцируемой в x функции f : U # R будем писать (f) вместо @f
@
(x) (см. прошлое
занятие).
Задача 2. (второе определение дифференциала). Пусть U # R n и V # R m | открытые
множества, ' : U # V | дифференцируемое отображение. Докажите, что дифференциал
' в точке x # U | это единственный линейный оператор L : T x U # T '(x) V , удовлетворя-
ющий условию (L)(f) = (f # ') для любой дифференцируемой функции f : V # R.
Задача 3. (третье определение дифференциала). Пусть U; V; '; x | те же, что в пре-
дыдущей задаче, : (-"; ") # U | дифференцируемая кривая, x = (0),  = # (0) |
ее вектор скорости. Вектором скорости какой кривой является d'(x)? Дайте еще одно
определение дифференциала, основанное на этом свойстве.
Определение. Пусть U; V # R n | открытые множества. Отображение ' : U # V назы-
вается C p -диффеоморфизмом, если оно биективно, ' # C p (U) и ' -1 # C p (V ).
Определение. Пусть M;U # R n | открытые множества, ' : M # U | диффеоморфизм,
(y 1 ; : : : ; y n ) | координатные функции в U . Функции ~
y i = y i
# ' называются криволиней-
ными координатами в M .
Задача 4. Пусть (~y 1 ; : : : ; ~ y n ) | криволинейные координаты в открытом множестве
M # R n , f : M # R | дифференцируемая в точке x # M функция. Докажите, что
d~y 1 (x); : : : ; d~y n (x) | базис в T #
x M и разложите df(x) по этому базису; при этом постарай-
тесь не пользоваться обычными координатами в M .
Задача 5. Выразите в полярных координатах следующие операторы:
1) x
@
@x
+ y
@
@y
; 2) y
@
@x - x
@
@y
; 3)
= @ 2
@x 2
+ @ 2
@y 2
(оператор Лапласа).
Задача 6. Уравнением колебаний струны называется следующее уравнение относительно
неизвестной функции u # C 2 (R):
@ 2 u
@t 2
= a 2 @ 2 u
@x 2
:
График функции y(x) = u(x; t) при фиксированном t представляет собой профиль струны
в момент времени t.
1) Найдите общее решение этого уравнения. (Указание: рассмотрите новые координаты
 = x - at,  = x + at.)

2) Пусть заданы начальные условия
# u(x; 0) = u 0 (x)
u # t (x; 0) = v 0 (x):
Напишите формулу для решения, заданного этими условиями.
3) (Струна гитары). Пусть v 0 = 0, а u 0 | функция со следующим графиком:
Нарисуйте профиль струны в моменты времени t k = kl
4a
(k = 0; : : : ; 5).
4) (Струна рояля). Пусть u 0 = 0, а v 0 | функция со следующим графиком:
Нарисуйте профиль струны в моменты времени t k = kl
4a (k = 0; : : : ; 5).
Задача 7. Докажите, что если f # C k (U ), то все ее частные производные до порядка k
включительно не зависят от порядка дифференцирования.
Задача 8. Пусть U # R n открыто и f # C N (U ). Приведите подобные члены в формуле
Тейлора (см. лекцию) и докажите, что ее можно записать в следующем виде:
f(x + h) = #
1 ;:::; n#Z+
 1 +···+n#N
1
 1 ! : : :  n !
@  1 +···+n f(x)
(@x 1 )  1 : : : (@x n ) n (h 1 ) 1 : : : (h n ) n + o(#h# N )
при h # 0. (Здесь Z+ | множество всех неотрицательных целых чисел.)
Замечание. Наборы  = ( 1 ; : : : ;  n ) # Z n
+ называются мультииндексами. Если  # Z+ ,
то полагают по определению
|| =  1 + · · · +  n ; ! =  1 ! : : :  n !; h  = (h 1 )  1 : : : (h n ) n ;
D  f(x) = @ || f(x)
(@x 1 )  1 : : : (@x n ) n :
В мультииндексных обозначениях формула Тейлора приобретает более обозримый вид:
f(x + h) = #
||#N
1
! D  f(x)h  + o(#h# N ) (h # 0):
Задача 9. Пусть f # C N (U) и f(x + h) =
# ||#N c  h  + o(#h# N ) при h # 0 в некоторой
окрестности x. Докажите, что c  = D  f(x)
! .
Задача 10. Найдите
@ 50 f
@x 24 @y 26
(0; 0) для f(x; y) = sin(x 2 + y 2 ).