Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s09/complan02.ps Дата изменения: Fri Jul 3 12:16:09 2009 Дата индексирования: Fri Oct 16 23:22:33 2009 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п

ЛИСТОК 2
1. Пусть f # O(C)  целая функция.
a) Если |f(z)| < M(log |z|) N при |z| > e для некоторых M > 0 и N # N, то
функция f постоянна.
b) Если |f(z)| < M |z| N при |z| > 1 для некоторых M > 0 и N # N, то
функция f  многочлен степени не выше N .
2. Пусть функция f голоморфна в окрестности замкнутого круга # = {|z| # 1}.
a) f(0) = 1
2#
2#
# 0
f(e i# ) d# (теорема о среднем).
b) f(0) = 1
# #
#
f(x + iy) dxdy (еще одна теорема о среднем).
c) |f(0)| # # - 1
p
#f# L p (#) для любого p # 1, где #f# L p (#) := # #
#
|f | p dxdy # 1
p
.
d) Как изменятся утверждения a)c), если вместо единичного круга взять
круг радиуса r > 0?
3. Пусть функция f(z) =
#
#
n=0
c n z n голоморфна в единичном круге # = {|z| < 1}.
Докажите, что
#f# 2
L 2 (#) = #
#
# n=0
|c n | 2
n + 1
.
4. Пусть функция f(z) =
#
#
n=0
c n z n голоморфна в круге # = {|z| < 1} и диффео-
морфно отображает # на область D # C. Докажите формулу
Area(D) = #
#
# n=1
n|c n | 2 .
5. Пусть f # C 1 (##)  комплекснозначная функция класса C 1 на единичной
окружности.
a) Если f =
#
f | ## , где
#
f # O(#) # C 0 (#), то 1
2#i #
##
f(#) d#
#-z # 0 при z ## #.
b) Для любого # # [0, 2#) существуют радиальные пределы
lim
r#1+
1
2#i
#
##
f(#) d#
# - re i# =: f + (e i# ).
c) f(e i# ) = f - (e i# ) - f + (e i# ) (Формула Сохоцкого.)
d) Приведите пример функции f , для которой f + различны и отличны от
нуля всюду на единичной окружности.