Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s07/dg1.ps Дата изменения: Mon Feb 26 11:54:25 2007 Дата индексирования: Sat Dec 22 11:25:42 2007 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: экстремум

НМУ, 2 курс, дифференциальная геометрия. Листок 1.
Кривые в плоскости и пространстве. 13.02.2007
Задача 1. Доказать, что кривизна плоской кривой r(t) = x(t)e 1 + y(t)e 2 ;
где t  произвольный параметр, может быть найдена
а) по формуле k =
jx _
y 
y _
xj
( _
x 2 + _
y 2 ) 3
2
:
б) по формуле
k =
j[ _
r;  r]j
j _
rj 3
; (1)
где [a; b] обозначает векторное произведение векторов a и b:
Задача 2. Доказать, что при кривизна пространственной кривой r(t) =
x(t)e 1 + y(t)e 2 + z(t)e 3 ; где t  произвольный параметр, может быть найдена
по формуле (1), а кручение  по формуле { =
( _
r;  r;  r_)
j[ _
r;  r]j 2
:
Задача 3. Найти кривизну и кручение кривой r(t) = e t (sin t; cos t; 1):
Задача 4. а) Доказать, что если кривизна кривой тождественно равна
нулю, то это прямая.
б) Доказать, что если кручение кривой тождественно равно нулю, то эта
кривая лежит в плоскости.
Задача 5. Доказать, что если кривая с k 6= 0; { 6= 0 лежит на сфере радиуса
R; то
R 2
=
1
k 2

1 +
(k 0 ) 2
({k) 2

; (2)
где 0 обозначает производную по отношению к натуральному параметру. Доказать,
что если ещ? и k 0 6= 0; то и обратное верно: из тождества (2) следует, что кривая
лежит на некоторой сфере радиуса R:
Задача 6. Доказать, что кривая постоянной кривизны, лежащая на сфере,
является окружностью.
Задача 7. Описать кривые с
а) постоянным кручением,
б) постоянными кривизной и кручением,
Задача 8  . Доказать, что выпуклая замкнутая гладкая плоская кривая
имеет не менее 4 точек экстремума кривизны.
Задача 9. Доказать, что для замкнутой гладкой кривой
R
(r dk {b ds) = 0;
где s  натуральный параметр.