Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s07/anex2_1.ps Дата изменения: Wed Feb 14 12:39:26 2007 Дата индексирования: Sat Dec 22 14:26:05 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: trifid nebula

Анализ, листок 1 (весна 2007, 2 семестр)
Мера Лебега на прямой
1. Пусть I | несчетное множество индексов и fa i g i2I | семейство поло-
жительных чисел, пронумерованное элементами I. Докажите, что
sup
SI
S конечно
X
j2S
a j = +1:
Пусть B | -алгебра подмножеств в множестве X. Отображение
f : X ! R называется измеримым (относительно B), если прообраз вся-
кого борелевского подмножества в R является элементом B. Аналогично
определяется измеримое отображение в произвольное топологическое про-
странство.
2. Покажите, что функция f : X ! R измерима тогда и только тогда,
когда измеримы все множества f 1 [a; +1) для a 2 R; то же | с заменой
f 1 [a; +1) на f 1 (a; +1).
3. Пусть f(x) = lim n!1 f n (x) для всякого x 2 X, и пусть все f n : X ! R
измеримы. Докажите, что f измерима.
4. Пусть f : [0; 1] ! R | непрерывная функция. Определим функцию
g : R! [0; +1] по формуле g(c) = card(f 1 (c)). Покажите, что g измерима
(относительно -алгебры борелевских подмножеств в R).
5. а) Найдите лебеговскую меру множества чисел из отрезка [0; 1], в деся-
тичной записи которых не встречается цифра 7.
б) Найдите лебеговскую меру множества чисел из отрезка [0; 1], в деся-
тичной записи которых не встречается сочетание цифр 2007.
6. Пусть E  [0; 1] | измеримое по Лебегу множество, обладающее тем
свойством, что для всякого отрезка [a; b]  [0; 1] имеем (E \ [a; b]) = (b
a)(E). Докажите, что (E) равна нулю или единице.
7. а) Покажите, что на кольце целых p-адических чисел Z p существует
мера , определенная на -алгебре борелевских подмножеств и обладающая
следующими свойствами: (1) (a + B) = (B) для всякого борелевского
B  Z p и всякого a 2 Z p ; (2) (Z p ) = 1. Через a+B обозначается множество
fa + x j x 2 Bg.
б) Покажите, что мера, о которой идет речь в пункте (а), единственна.
8. Пусть C  [0; 1] | ЂклассическоеЃ канторово множество (полученное
удалением средних третей отрезков). Докажите, что на [0; 1] существует
мера  (определенная на -алгебре борелевских подмножеств) со следую-
щими свойствами: (1) (B) = (B \C) для всякого борелевского B  [0; 1];
(2) (X) = 0, если X | конечное множество; (3) ([0; 1]) > 0.
9. Существует ли непостоянная непрерывная функция f : [0; 1] ! R, обла-
дающая тем свойством, что для всех x 2 [0; 1], кроме некоторого множества
лебеговой меры нуль, производная f 0 (x) существует и равна нулю?