Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s07/compvar3.ps Дата изменения: Tue Mar 20 13:46:48 2007 Дата индексирования: Sat Dec 22 15:33:40 2007 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: arp 220

НМУ, Комплексно аналитические многообразия
и голоморфные расслоения. Листок 3.
Пучки II. 17.03.2007.
Задача 1. Пусть пучок A является подпучком B: Напомним, что мы
определили факторпучок C = B=A как пучок, порожденный предпучком,
группа (кольцо и т.д.) сечений которого над U равна B(U )=A (U ):
a) проверьте, что последовательность
0 ! A i
!B p
!B=A ! 0;
где i вложение, а p естественная проекция, точна.
б) Проверьте, что, как и говорилось на лекции, можно определить факторпучок
C = B=A конструктивно, положив C (U ) группой (кольцом и т.д.) классов
эквивалентности наборов (fU g; fg); где fU g открытое покрытие U =
S
 U ;
а  2 B(U ); такие что  j U\U   j U\U 2 A (U \ U  ); причем наборы
(fU g; fg) и (fV  g; f  g) эквивалентны, если для любой точки p 2 U и U 3 p;
V  3 p найд?тся такая окрестность W 3 p; что W  U \ V  и  j W   j W 2
A (W ):
Задача 2. Для морфизма пучков F f
! G положим ker f(U ) = ker f U ; где
f U : F (U ) ! G (U ): Проверьте, что ker f является пучком.
Задача 3. Для морфизма пучков F f
! G определим coker f как факторпучок
G =f(F ):
а) ?Расшифруйте? определение коядра конструктивно, как определение факторпучка
в задаче 1.
б) Проверье, что последовательность
0 ! E  !F  ! G ! 0
точна тогда и только тогда, когда 1)  является вложением, то есть U являются
вложениями для любого открытого множества U; 2) E = ker  (так как 
вложение, то мы отождествляем E и (E )  F ), 3) G изоморфно coker ; а
 при этом изоморфизме является естественной проекцией.
Задача 4. Пусть X связное хаусдорфово пространство, a и b две различные
точки X; J подпучок Z; состоящий из элементов, равных нулю в a и b:
а) Найдите (Z=J) x :
б) Докажите, что последовательность
0 ! J !Z !Z=J ! 0
точна.
в) Докажите, что при этом индуцированное отображение
(X;Z) !(X;Z=J)
не сюръективно.
Задача 5. Докажите, что локально постоянные пучки (Z; R и так далее)
на хаусдорфовом пространстве X; таком что у него есть хотя бы одна связная
компонента, содержащая более одной точки, не являются ни мягкими, ни тонкими.
Задача 6. Докажите, что пучок OC голоморных функций на комплексной
плоскости не является ни мягким, ни тонким.
Указание: рассмотреть ряд, сходящийся в единичном круге, но не продолжающийся
аналитически за его пределы вроде
P
n
z n! :