Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s06/hl1.ps Дата изменения: Wed May 17 11:48:33 2006 Дата индексирования: Sat Dec 22 11:25:07 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: m 8

Задачи к миникурсу \16-я проблема Гильберта для предельных циклов"
Обозначим через V класс векторных полей на S 2 имеющих конечное число особых
точек, одна из которых|отталкивающая (репеллер).
Теорема Пуанкаре-Бендиксона. Если положительная полутраектория принадле-
жит области с компактным замыканием, не содержащей особых точек поля, то она
либо сама является периодической траекторией, либо наматывается на периодиче-
скую траекторию.
1. Доказать, что !-предельное множество любой непостоянной траектории век-
торного поля класса V является либо периодической орбитой, либо полициклом (объ-
единением конечного числа особых точек и соединяющих их орбит).
Пусть B|область с компактным замыканием, на границе которой векторное поле
направлено строго внутрь области. Такая область называется поглощающей.
2. Доказать, что поле класса V имеет поглощающую область, гомеоморфную
диску.
3. Пусть векторное поле v имеет поглощающую область B с гладкой границей,
гомеоморфную диску. Максимальным аттрактором поля v в области B называются
Amax = \ t>0 g t
v B;
где g t
v |преобразование фазового потока поля v за положительное время. Доказать,
что максимальный аттрактор поля v в области B обладает следующими свойствами
3a. Максимальный аттрактор инвариантен относительно фазового потока поля v:
3б. Максимальный аттрактор является объединением всех полных орбит (соот-
ветствующих решениям, определенным на всей оси времен).
3в. Максимальный аттрактор \устойчив по Ляпунову": для любой его окрестно-
сти U существует такое положительное время t; что g t B  U:
Определение. Полицикл векторного поля|это \сепаратрисный многоугольник",
т.е. объединение конечного числа особых точек и соединяющих их траекторий. По-
лицикл называется монодромным, если для него можно определить аналог отобра-
жения Пуанкаре, но только на полуинтервале (подробное определение опущено для
краткости).
4. Доказать, что если векторное поле класса V имеет счетное число предельных
циклов, то
а) существует последовательность этих циклов, накапливающихся к полициклу;
б) этот полицикл|монодромный.
5. Доказать, что
а) Предельные циклы аналитического векторного поля на плоскости не могут на-
капливаться к его осбой точке с линейной частью типа центр;
б) Это неверно для гладкого поля.
6. Доказать, что внутри замкнутой орбиты векторного поля на плоскости лежит
особая точка этого поля.
Квадратичное векторное поле|это поле на плоскости, заданное полиномами вто-
рой степени.
Typeset by A M S-T E X
1

2
7. Прямая, проходящая через 2 особые точки квадратичного векторного поля, не
имеет контактов с этим полем вне особых точек.
8. Замкнутая фазовая кривая квадратичного векторного поля выпукла.
9. Поворотом поля можно разрушить кратные циклы и седловые связки.
Определение. Цикличность полицикла в семействе векторных полей|это макси-
мальное число предельных циклов, которые рождаются из этого полицикла в этом
семействе.
10. Функция на компакте ограничена, если и только если ее колебание в каждой
точке ограничено.
11. Доказать, что число предельных циклов в семействе уравнений с компактной
базой на сфере ограничено, если и только если цикличность каждого полицикла в
этом семействе конечна. (Руссари)
12. Может ли немонодромный полицикл породить предельные при бифуркации?