Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s06/calcexam2.ps Дата изменения: Fri Oct 6 13:42:22 2006 Дата индексирования: Sat Dec 22 16:16:29 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п

НЕЗАВИСИМЫЙ МОСКОВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ АНАЛИЗ, 2 СЕМЕСТР
ЭКЗАМЕН 4{11 ОКТЯБРЯ 2006 Г.
Пожалуйста, соблюдайте следующие правила оформления работы:
1) Работа должна иметь титульный лист, на котором написаны фамилия и имя сдающего экзамен
И БОЛЕЕ НИЧЕГО НЕ НАПИСАНО.
2) Решение каждой задачи или пункта, в котором требуется ответ, должно начинаться со слова
\Ответ", за которым следует ответ. Это правило нужно соблюдать, даже если в тексте решения
ответ и так встречается.
Работы нужно сдать в учебную часть до 11 октября включительно. Вопросы по условиям задавать
Ю.М. Бурману (burman@mccme.ru).
Задача 1. Каждую точку (n 2)-мерной сферы S 1 = f(1; x 2 ; : : : ; xn ) j x 2
2 +


+x 2
n = 1g соединили отрезком
с каждой точкой (n 1)-мерного шара B 1 = f( 1; x 2 ; : : : ; xn ) j x 2
2 +


+ x 2
n  1g. Найдите n-мерный объем
объединения всех этих отрезков.
Указание. Объем k-мерного шара единичного радиуса равен v k =  k=2
(k=2)!
для четного k и v k = 2 (k+1)=2  (k 1)=2
k!!
для нечетного k.
Задача 2. Пусть C 1 (R) | пространство гладких функций, f 2 C 1 (R), и M f : C 1 (R) ! C 1 (R) |
линейный оператор умножения на функцию f (M f (g) def
= fg). Докажите, что а) множество собственных
значений M f имеет меру нуль; б) если f 6= const:, то спектр оператора M f имеет положительную меру.
Указание. Спектром оператора A называется множество таких , что оператор A I не имеет обратного.
Собственное значение всегда является точкой спектра (почему ?), но обратное в бесконечномерном случае
неверно.
Задача 3. Обозначим D  [0; 1] множество таких чисел a, что ряд
P 1
n=1
" n =n расходится, где " 1 ; " 2 ;


2
f0; 1g | цифры двоичного представления числа a. Докажите, что D имеет меру нуль.
Задача 4. Докажите, что
R
[0;1] 2
x ln(xy)dx dy
1 xy
сходится.
Задача 5. а) Докажите, что существует и единственна гладкая функция f : [0; 1][0; +1) ! R, для которой
@f(x;t)
@t
= @ 2 f(x;t)
@x 2 при 0 < x < 1, t > 0, а также f(0; t) = f(1; t) = 0 и f(x; 0) = x x 2 . б) Докажите, что функция
f ограничена.
Задача 6. Положим (t) =
P 1
n=1 e n 2 t , где t > 0. Докажите тождество (1=t) =
p
t(t).