Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s05/measure_exam.ps Дата изменения: Fri Aug 5 13:06:54 2005 Дата индексирования: Sat Dec 22 17:04:13 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п

Теория Меры 8: Задачи для экзамена
Теория Меры 8: Задачи для экзамена
Листочек называется сданным, если сданы все задачи без звездочки (кроме, быть может,
трех), либо больше 4/5 задач со звездочкой и восклицательным знаком. Чтобы сдать экзамен,
нужно непосредственно на экзамене решить 2n задач, где n - число несданных листков. Если
задача относится к несданному листку, она засчитывается за две.
8.1. Задачи к листку 1
Задача 8.1. Рассмотрим кольцо R многоугольников в R 2 (кольцо, порожденное замкнутыми
треугольниками). Пусть на R задана функция  со значениями в [0; 1[, удовлетворяющая
следующим свойствам
а. (I) = 0, где I это отрезок, интервал или полуинтервал
б. (A) = (B), если A может быть получено из B параллельным переносом.
в.  аддитивна: (A
`
B) = (A) + (B).
Докажите, что  задается этими свойствами однозначно, с точностью до постоянного
множителя.
Задача 8.2. Выведите свойство а. предыдущей задачи из б.
Задача 8.3. Пусть L есть плоскость Лобачевского (плоскость, заданная аксиомами Евкли-
да, где постулат о существовании и единственности параллельной прямой, проходящей через
заданную точку, заменен на утверждение "сумма углов треугольника строго меньше ").
Определим объем выпуклого n-угольника N как (n 2) , где  это сумма углов N . Дока-
жите, что эта функция продолжается до аддитивной функции  на кольце многоугольников,
со значениями в [0; 1[. Для каких многоугольников (N) равна сумме углов N?
8.2. Задачи к листку 2
Задача 8.4. Дана булева алгебра A. Рассмотрим множество Spec(A) всех максимальных иде-
алов A. Для каждого a 2 A, рассмотрим подмножество U a  Spec(A), состоящее из всех
идеалов, не содержащих a. Определим на Spec(A) топологию, с базой, состоящей из всех U a .
Докажите, что Spec(A) хаусдорфово и вполне несвязно (не содержит связных подмножеств,
кроме точки).
Задача 8.5. Для любого a 2 A, рассмотрим функцию на f a : Spec(A) ! f0; 1g, ставящую
1 в соответствие идеалу, не содержащму a, и 0 в соответствие идеалу, содержащему a. До-
кажите, что все функции f a непрерывные, и любая непрерывная функция получается таким
образом.
Задача 8.6. Докажите, что любая булева алгебра получается как алгебра, порожденная от-
крытыми подмножествами в некотором хаусдорфовом, вполне несвязном пространстве. До-
кажите, что это пространство единственно.
1

Теория Меры 8: Задачи для экзамена
8.3. Задачи к листку 3
Задача 8.7. Дана монотонно возрастающая последовательность ff i g интегрируемых функ-
ций на R n . Предположим, что все f i ограничены сверху некоторой интегрируемой функцией.
Докажите, что sup f i интегрируемая, и f i сходится к sup f i в топологии, заданной нормой jf j 1
Задача 8.8. Докажите, что поточечный предел измеримых функций измерим.
Задача 8.9. Приведите пример измеримой функции, которую нельзя получить как поточеч-
ный предел последовательности непрерывных функций.
8.4. Задачи к листку 4
Задача 8.10. Вещественнозначная функция f на отрезке называется абсолютно непре-
рывной, если для любого  > 0 существует ф > 0 такая, что для любого набора непересека-
ющихся интервалов f[a i ; b i ]g с суммой длин, ограниченных ф, справедлива оценка
P
jf(a i )
f(b i )j < . Докажите, что абсолютно непрерывная функция дифференцируема почти всюду,
а ее производная интегрируема.
Задача 8.11. Докажите, что в R n не существует измеримого множеества A такого, что
(A [ B) = 1=2(B) для любого куба B ( - мера Лебега).
Задача 8.12. Меры ;  называются эквивалентными, если  абсолютно непрерывна от-
носительно , а  абсолютно непрерывна относительно . Пусть на R n задана мера , такая,
что для каждого сдвига P : R n !R n , P   эквивалентна . Докажите, что  эквивалентна
мере Лебега.
8.5. Задачи к листку 5
Задача 8.13. Пусть  - мера на R n абсолютно непрерывная относительно меры Лебега. Все-
гда ли  принадлежит классу C 1 ?
Задача 8.14. Докажите, что мера Лебега гладкая, и для любого векторного поля ~v заряд
Lie ~v  абсолютно непрерывен относительно , где  есть мера Лебега.
Задача 8.15. Дивергенцией Div(~v) называется функция f такая, что f = Lie ~v . Для
заданной гладкой функции f на R n , найдите векторное поле v такое, что f = Div(~v).
8.6. Задачи к листку 6
Задача 8.16. Пусть C есть пространство непрерывных вещественнозначных функций на
отрезке [0; 1], с топологией, заданной нормой jf j 2 =
q R
[0;1]
f 2 , ( - мера Лебега на отрезке),
а L 2 ([0; 1]) его пополнение по этой норме. Будет ли открытый шар в L 2 ([0; 1]) борелевским
множеством?
Задача 8.17. Существует ли инвариантная относительно параллельных переносов ненулевая
борелевская мера на L 2
([0; 1])?
Задача 8.18. Найдите все инвариантные относительно параллельных переносов борелевские
меры на p-адическом векторном пространстве Q n
p
.
2

Теория Меры 8: Задачи для экзамена
8.7. Задачи к листку 7
Задача 8.19. Найдите локально компактную хаусдорфову топологическую группу, у кото-
рой правая мера Хаара не пропорциональна левой.
Задача 8.20. Верно ли, что правая мера Хаара на компактной хаусдорфовой топологической
группе G всегда пропорциональна левой?
Задача 8.21. Рассмотрим группу G обратимых верхнетреугольных матриц 2  2
A =

a 11 a 12
0 a 22

Отображение A ! (a 11 ; a 12 ; a 22 ) отождествляет G и открытое подмножество в R 3 , задан-
ное условиями a 11
6= 0; a 22
6= 0. Докажите, что мера Хаара h на G абсолютно непрерывна
относительно меры Лебега  на R 3 . Найдите функцию f такую, что h = f.
3