Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s04/alg1exam.ps Дата изменения: Fri May 14 10:42:12 2004 Дата индексирования: Sat Dec 22 15:20:17 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: п п р р р р р р р р р р р р р п

Алгебра, 1 курс Домашний экзамен 13 {20 мая 2004 года
На первой странице работы нужно написать ЂДомашний экзамен по алгебре, 1 курсЃ, после чего указать
фамилию и имя сдающего экзамен; больше ничего на первой странице не должно быть написано.
Решение каждой задачи или пункта, где требуется ответ, должно начинаться словом ЂОтветЃ, за кото-
рым следует ответ. Это правило нужно соблюдать, даже если в тексте решения ответ и так встречается.
Решения задач нужно сдать в учебную часть или непосредственно В. Доценко (dotsenko@mccme.ru) не
позже 18 00 четверга 20 мая. Около каждой задачи указано число баллов за её полное решение. Ориентиро-
вочные критерии оценок: 40 баллов | Ђ5Ѓ, 32 балла | Ђ4Ѓ, 24 балла | Ђ3Ѓ; пересдача осенью. Удачи!
1. (3 балла) Опишите все конечные группы с не более чем тремя классами сопряжённости.
2. Говорят, что группа G действует на множестве M k-транзитивно, если любой набор из k
различных элементов M может быть переведён действием группы в любой другой такой набор.
(а) (1 балл) Докажите, что группа S n действует (на множестве f1; 2; : : : ; ng) n-транзитивно, а
группа A n | (n 2)-транзитивно.
(б) (3 балла) Опишите все (n 2)-транзитивные подгруппы группы S n (действующей на n-эле-
ментном множестве стандартным образом).
3. Рассмотрим группу H n матриц вида
 1 a b
0 1 c
0 0 1

, где a; b; c 2 Z=nZ.
(а) (1 балл) Укажите элементы x; y;  2 H n , порождающие эту группу, для которых выполнены
соотношения x n = y n =  n = e, x = x, y = y, xy = yx.
(б) (3 балла) Докажите, что любая группа, порождённая элементами x; y;  с такими соотноше-
ниями, является факторгруппой группы H n .
(в) (2 балла) Опишите одномерные представления группы H n .
(г) (3 балла) Укажите n-мерное неприводимое комплексное представление группы H n .
4. (1 балл) Докажите, что неприводимое комплексное представление любой трёхмерной алгебры
одномерно.
5. (4 балла) Пусть V | двумерное неприводимое комплексное представление группы S 3 . До-
кажите, что для любых k; l 2 N представления группы S 3 в пространствах S k (S l (V )) и S l (S k (V ))
изоморфны.
6. (2 балла) Любое ли конечномерное представление группы S 3 над полем F 3 можно разложить в
прямую сумму неприводимых?
7. (3 балла) Могут ли комплексные неприводимые представления конечной группы G исчерпы-
ваться пятью одномерными и одним пятимерным?
8. (3 балла) Пусть конечная группа G действует на (конечном) множестве M , V | представление
в пространстве комплексных функций на M . Обозначим через M g множество неподвижных точек
элемента g 2 G в M . Докажите, что X
g2G
#M g =
X
g2G
 V (g):
9. (5 баллов) Пусть #G = p n (p | простое число), char k = p. Докажите, что подпространство
J =
nX
g2G
c g g j
X
g2G
c g = 0
o
 kG
является идеалом, причём этот идеал нильпотентен, т. е. для некоторого N для любых a 1 ; : : : ; aN 2 J
выполнено a 1 a 2
: : :
aN = 0.
10. (а) (1 балл) Докажите, что найдётся элемент a 2 F p , для которого уравнение x 2 = a не-
разрешимо в F p . Докажите, что факторкольцо F p 2 := F p [t]=(t 2 a)F p [t] | поле, в котором всякое
квадратное уравнение с коэффициентами из F p разрешимо.
(б) (3 балла) Группа G = GL 2 (F p ) действует на множестве L = F p 2 n F p дробно-линейными пре-
образованиями z 7! az+b
cz+d . Отсюда возникает представление в V = C(L) | пространстве комплексных
функций на L. Вычислите dimHomG (V; V ).
11. (4 балла) Найдите кратность тривиального (одномерного) представления группы G в пред-
ставлении, индуцированном с регулярного представления её подгруппы H (можно считать, что
основное поле | C ).
12. Опишите все конечномерные тела над (а) (1 балл) C ; (б) (5 баллов) R.