Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s03/top1l3.ps Дата изменения: Mon Mar 3 12:12:23 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 12:44:33 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ ТОПОЛОГИЯ, 1 СЕМЕСТР
ЛЕКЦИЯ 3. НАКРЫТИЯ И ПОДГРУППЫ.
Теорема 1 (свойство универсальности односвязного накрытия). Пусть f : Y !
X | накрытие, причем пространство Y односвязно (т.е. линейно связно и
 1 (Y ) тривиальна). Тогда для любого накрытия g : Z ! X с линейно связным
пространством Z существует морфизм P накрытия f в накрытие g.
Следствие. Все накрытия с данной базой X и с односвязными накрываю-
щими изоморфны между собой.
Доказательство. Зафиксиру ем базовые точки q 2 Y и r 2 Z так, чтобы
f(q) = g(r) def
= p. Пусть y 2 Y | произвольная точка; соединим ее с q непре-
рывным путем . По лемме о накрывающей гомотопии существует единствен-
ный путь e в пространстве Z такой, что e (0) = r, и g ф e = f ф . Определим
отображение P : Y ! Z формулой P (y) = e (1). Поскольку  1 (Y ) = 0, любой
другой путь с концами q и y гомотопен данному. При гомотопии путь e
также изменяется непрерывно, и то же самое относится к точке e (1). Но по-
скольку g(e (1)) = f(y) не изменяется, а множество g 1 (f(y)) дискретно, точка
e (1) остается на месте, и отображение P корректно определено.
Говорят, что пространство X локально односвязно, если каждая точка x 2
X обладает линейно связной окрестностью U такой, что  1 (U ) = 0.
Предложение 1. Всякое линейно связное локально односвязное простран-
ство имеет односвязное накрытие.
Доказательство. Пусть X | линейно связное пространство. Выберем произ-
вольную точку p 2 X и обозначим Y множество непрерывных путей с началом
в точке p, с точностью до гомотопии, сохраняющей концы пути (т.е. множе-
ство классов гомотопии непрерывных отображений : [0; 1] ! X таких, что
(0) = p, с точностью до гомотопий F , при которых F (0;  ) = (0) = p и
F (1;  ) = (1) при всех  ). Топология в пространстве Y вводится так: рас-
смотрим произвольную односвязную открытую окрестность U  X, выберем
точку x 2 U и какой-нибудь путь , для которого (0) = p и (1) = x. В
силу односвязности для любых двух точек a; b 2 U существует единственный,
с точностью до гомотопии, путь r ab , связывающий эти точки и лежащий в U .
Обозначим V (U; ) множество путей, связывающих p с различными точками
y 2 U и гомотопных объединен ию путей и r xy . Нетрудно проверить, что
подмножества V (U; )  Y задают в Y структуру топологического простран-
ства.
Определим теперь отображение f : Y ! X, сопоставляющее пути его
правый конец (1) (в силу предположения (1) не меняется при гомотопии).
Нетрудно видеть, что это непрерывное отображение. Кроме того, f 1 (U )
есть объединение окрестностей V (U; ф) по всем классам гомотопии путей ф,
соединяющих p и x; окрестности V (U; ф) для разных ф не пересекаются |
следовательно, f это накрытие.
1

2МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУТОПОЛОГИЯ, 1 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 3. НАКРЫТИЯ И ПОДГРУППЫ.
Пространство Y линейно связно (почему ?); докажем его односвязность.
Обозначим P 2 Y класс гомотопии пути e(t)  p, и пусть  | петля в Y с
началом и концом в P . Пусть (t) def
= (t)(1) 2 X (т.е. конечная точка пути
(t) в пространстве X); | петля в пространстве X с началом и концом в
точке p. Согласно определению топологии в пространстве Y , из непрерыв-
ности следует, что при всяком s 2 [0; 1] путь (s) гомотопен отрезку петли
, соответствующему t 2 [0; s]. Поскольку (1) = P , отсюда следует, что пе-
тля стягиваема. Следовательно, образ мономорфизма f  :  1 (Y ) !  1 (X)
тривиален, откуда  1 (Y ) = 0.
Теорема 2. Пусть X | линейно связное локально односвязное простран-
ство. Тогда для всякой подгруппы G   1 (X) существует единственное, с
точностью до изоморфизма, накрытие f : XG ! X такое, что f  ( 1 (XG )) =
G.
Доказательство. Конструкция пространства XG аналогична конструкции од-
носвязного накрытия в предложении 1. А именно, возьмем в качестве XG мно-
жество непрерывных путей с началом в точке p, с точностью до гомотопии,
сохраняющей концы пути, и до умножения на петли с началом и концом в этой
точке, реализующие классы a 2 G. Нетрудно проверить, что пространство
XG удовлетворяет требованиям теоремы.
Единственность: пусть теперь f 0 : X 0
G ! X | другое накрытие с тем
же свойством. По свойству универсальности, существует морфизм накрытий
r : Y ! X 0
G . Напомним, что элементы пространства Y это пути в X с началом
в точке p; поскольку f 0
 ( 1 (X 0
G )) = G, то образы путей a и b при отображении r
совпадают тогда и только тогда, когда совпадают их конечные точки, и петля
ab 1 реализует элемент подгруппы G. С другой стороны, само отображение
r является накрытием (почему ?), и, в силу односвязности пространства Y
получаем изоморфизм между X 0
G и XG .
Таким образом, накрытия над X взаимно однозначно соответствуют под-
группам группы  1 (X), и любое алгебраическое свойство подгруппы соответ-
ствует некоторому геометрическому свойству накрытия. Вот примеры:
Предложение 2. Подгруппа G   1 (X) нормальна тогда и только тогда,
когда для любого замкнутого пути в пространстве XG любой путь, име-
ющий ту же проекцию, также замкнут.
Доказательство. Пусть пути 1 и 2 имеют одну и ту же проекцию: f  ( 1 ) =
f  ( 2 ) = 2  1 (X). Поскольку 1 замкнут, петля реализует элемент под-
группы G. Пространство XG линейно связно, и поэтому существует путь  ,
соединяющий точки 1 (0) и 2 (0). Пусть  = f  ( ), тогда f  (

 1 ) =   1 .
Путь 2 замкнут тогда и только тогда, когда   1 2 G.
Накрытия, обладающие свойством, указанным в этом предложении, назы-
ваются нормальными.
Предложение 3. Для каждого n 2 N существует единственное, с точно-
стью до изоморфизма, n-листное накрытие над окружностью. Это накры-
тие нормально.
Доказательство. Для каждого n 2 N группа Z=  1 (S 1 ) имеет единственную
подгруппу индекса n; эта подгруппа нормальна.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУТОПОЛОГИЯ, 1 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 3. НАКРЫТИЯ И ПОДГРУППЫ.3
Указанное накрытие можно реализовать как отображение f : S 1 ! S 1 еди-
ничной окр ужности в себя, умножающее полярный угол на n.