Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s03/top1l9.ps Дата изменения: Sat Apr 12 13:20:02 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 12:45:08 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: большой круг

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ ТОПОЛОГИЯ, 1 СЕМЕСТР
ЛЕКЦИЯ 9. ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ СФЕР
Доказательство теоремы о накрывающей гомотопии. Докажем теорему сперва в случае, когда расслоение
тривиально. В этом случае поднятие g имеет вид g(x; t) = (f(x; t); h(x; t)), где h : Kn  [0; 1] ! F |
непрерывное отображение, которое надо построить. При этом заданы отображения h 0 : Kn ! F и e h :
@Kn  [0; 1] ! F .
Зафиксируем t 2 [0; 1] и разобьем куб Kn на внутренний куб Q с ребром 1 t=2 и \рамку". Рамка
гомеоморфна @Kn  [0; t], так что на ней можно положить g(x; t) = e g(x; t). Куб Q гомеоморфен Kn , так что
на нем положим g(x; t) = g 0 (x). Условие согласования обеспечивает непрерывность на общей границе Q и
рамки.
Общий случай сводится к этому с помощью леммы Фельдбау. Рассмотрим подмножество E 0  Kn+1E =
Kn  [0; 1] E, заданное условием E 0 = f(x; t; e) 2 Kn  [0; 1] E 0 j p(e) = f(x; t). Проекция E 0 ! Kn  [0; 1] =
Kn+1 определяет расслоение p 0 над Kn+1 , которое тривиально по лемме Фельдбау. Осталось применить
теорему о накрывающей гомотопии к этому расслоению, тождественной гомотопии % : Kn  [0; 1] ! Kn+1
и отображениям G 0 : Kn ! E 0 и e
G : @Kn  [0; 1] ! E 0 , заданным формулами G 0 (x) = (g 0 (x); x; 0) и
e
G(x; t) = (eg(x; t); x; t).
Рассмотрим сферу S n , вложенную в пространство R n+1 в качестве единичной сферы с центром в начале
координат, и пусть a 0 ; : : : ; a k 2 S n . (k-мерным сферическим) Симплексом с вершинами a 0 ; : : : ; a k называется
пересечение S n с конусом в R n+1 , натянутым на радиус-векторы a 0 ; : : : ; a k . Отображение s :
k !
l
между двумя симплексами называется аффинным, если оно переводит каждый симплекс

k в симплекс

0 
l (возможно, меньшей размерности); отображение f : S m ! S n называется кусочно-аффинным, если
существует разбиение S m на m-мерные симплексы, на каждом из которых отображение аффинно.
Лемма 1. Всякое непрерывное отображение f : S m ! S n гомотопно кусочно-аффинному отображению,
причем гомотопия может быть сделана произвольно малым шевелением.
Доказательство. Разобьем S m на симплексы настолько малые, чтобы образы двух точек одного и того же
симплекса не были взаимно противоположны. Пусть a 0 ; : : : ; am ; а | вершины и одна точка какого-нибудь
симплекса
, b i = f(a i ); b = f(a) | их образы. Пусть g :
! S n | аффинное отображение, для которого
g(a i ) = b i , и пусть c = g(a). Точки b и c не являются взаимно противоположными, так что их можно
соединить единственной дугой большого круга, меньшей половины окружности. Стянем b к c вдоль этой
дуги | это определяет гомотопию отображения f к g на симплексе
. Этот процесс нужно теперь проделать
для всех симплексов разбиения.
Следствие. m (S n ) = 0 при m < n.
Доказательство. Пусть f : S m ! S n | сфероид; по лемме, он гомотопен кусочно-линейному отображению,
которое мы тоже обозначим f . Образ отображения f состоит из конечного числа симплексов размерности
m < n, и поэтому не покрывает всей сферы S n . Пусть a =
2 f(S m ), b | точка, противоположная a. Множество
S m nfag можно стянуть в точку b; композиция этого стягивания с f даст гомотопию между f и отображением
всей сферы S m в точку b.
Лемма 2. Пусть a; b 2 Kn | две точки n-мерного куба. Тогда существует гомотопия D t , состоящая из
гомеоморфизмов шара, постоянная на его границе и такая, что В 0 = Id и D 1 (a) = b.
Доказательство проводится прямой конструкцией (проведите !).
Надстройкой над топологическим пространством X называется топологическое пространство X = X 
[0; 1]=((a; 0)  (b; 0); (a; 1)  (b; 1)8a; b 2 X); надстройкой над отображением f : X ! Y | отображение
f : X ! Y , действующее по правилу (f)(x; t) = (f(x); t). Очевидно, S n = S n+1 , и  Id S n = Id S n+1 .
Также понятно, что если f  g, то f  g. Таким образом, возникает отображение надстройки  :
m (S n ) ! m+1 (S n+1 ).
Теорема 1. Отображение надстройки  : n (S n ) ! n+1 (S n+1 ) является изоморфизмом при всяком n.
Следствие 1. n (S n ) = Z; образующей группы является класс гомотопии тождественного отображения.
Следствие 2. Сфера S n не стягиваема.
1

2МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ ТОПОЛОГИЯ, 1 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 9. ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ СФЕР
f
f
Доказательство. Пусть f : S n+1 ! S n+1 | сфероид, и n  1; докажем, что существует такой сфероид
g : S n ! S n , что f гомотопно g | это докажет эпиморфность гомоморфизма . Прежде всего гомотопией
превратим f в кусочно-аффинное отображение. Пусть теперь a; b 2 S n | полюса сферы-образа. Малым
шевелением этих точек можно добиться того, чтобы их прообразы f 1 (a) и f 1 (b) состояли из конечного
числа точек. Поскольку n+1  2, можно выбрать набор непересекающихся дуг, соединяющих точки f 1 (a) с
какими-то точками северного, а точки f 1 (b) | с точками южного полушария сферы-прообраза. Окружим
каждую хорду пленкой, гомеоморфной шару; тогда композиция отображения f и гомотопий D t из леммы 2
даст отображение, гомотопное f и такое, что f 1 (a) лежит в северном, а f 1 (b) | в южном полушарии.
Следовательно, образ экватора не содержит полюсов a; b сферы-образа и, в силу компактности, не пересе-
кается с некоторыми открытыми окрестностями U a ; Un этих полюсов (\полярными шапками"). Существует
отображение g : S n ! S n , гомотопное тождественному и такое, что g(U a ) есть все северное полушарие, а
g(U b ) | южное. Композиция g ф f гомотопна f и переводит северное полушарие в северное, южное в южное
и экватор в экватор. Применяя лемму 2, мы можем также добиться, чтобы полюс переходил в полюс.
Применим теперь к полученному отображению гомотопию Александера, изображенную на рисунке | при
этом получится надстройка над соответствующим отображением экваторов. Эпиморфность доказана.
Докажем мономорфность. Пусть F : S n+1  [0; 1] ! S n+1 | гомотопия, соединяющая отображения
f 0 и f 1 ; докажем, что ее можно заменить гомотопией, все отображения в которой | надстройки и,
следовательно, f 0  f 1 . При n = 1 теорема нам уже известна, так что можно предположить, что n  2.
План доказательства такой же, как для эпиморфностм. Сначала доказывается, что отображение F го-
мотопно кусочно-линейному. Прообразы f 1 (a) и f 1 (b) полюсов теперь представляют собой ломаные;
поскольку n + 1  3, можно прогомотопировать отображение так, чтобы эти ломаные лежали в различных
полушариях цилиндра S n+1 [0; 1]. После этого отображение гомотопируется к отображению, переводящему
экватор в экватор, и применяется гомотопия Александера.
Теорема 2. При k  3 группы  k (S 3 ) и  k (S 2 ) изоморфны. В частности,  3 (S 2 ) = Z.
Доказательство. Изоморфизм осуществляется отображением p  :  k (S 3 ) !  k (S 2 ), где p : S 3 ! S 2 |
расслоение Хопфа. Действительно, соответствующий участок точной последовательности этого расслоения
выглядит так: 0 =  k (S 1 ) !  k (S 3 ) !  k (S 2 ) !  k 1 (S 1 ) = 0. Равенство  3 (S 2 ) = Zвытекает теперь из
следствия 1.
Пусть X | n-мерное многообразие. Следствие 1 позволяет определить над X ориентирующее накрытие
Y , в точности как было сделано ранее для двумерных многообразий. А именно, для всякой точки a 2 X
существует ее окрестность U , гомеоморфная n-мерному шару. Множество U n fag гомотопически эквива-
лентно S n 1 , так что n 1 (U n fag) = Z. Точками Y будут пары (a; s), где s | одна из двух образующих
группы n 1 (U n fag) = Z; топология вводится как и раньше. Многообразие X называется ориентируемым,
если ориентирующее накрытие тривиально, то есть имеет сечение; это сечение называется ориентацией.
Сфера S n | ориентируемое многообразие.