Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s03/top1l4.ps Дата изменения: Sat Mar 8 11:18:11 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 12:44:42 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ ТОПОЛОГИЯ, 1 СЕМЕСТР
ЛЕКЦИЯ 4. ПОВЕРХНОСТИ И ОРИЕНТИРУЕМОСТЬ.
Топологическое пространство  называется n-мерным многообразием с кра-
ем, если выполнены следующие требования: а) 8p; q 2 ; p 6= q существуют
открытые окрестности U 3 p; V 3 q такие, что U \ V = ?; б) каждая точка
p 2  имеет открытую окрестность, гомеоморфную либо R n (в этом случае p
называется внутренней точкой), либо замкнутому полупространству | мно-
жеству векторов в R n с неотрицательной первой координатой (в этом случае p
называется точкой края). Двумерное многообразие называется поверхностью.
Некоторые свойства многообразий (доказывать которые мы не будем).
Многообразие размерности n не может одновременно быть многообразием
размерности m при m 6= n. Внутренняя точка многообразия с краем не мо-
жет быть точкой края, и наоборот. Край n-мерного многообразия является
(n 1)-мерным многообразием без края.
Пример 1 (одномерных многообразий). Многообразия без края: прямая, окруж-
ность, а также несвязное объединение этих пространств в любом количестве.
Многообразия с краем: отрезок, полуинтервал.
Пример 2 (двумерных многообразий). Многообразия без края: плоскость, дву-
мерная сфера, двумерный тор T 2 = S 1 S 1 и бесконечный цилиндр C = S 1 R,
а также любое из этих пространств, из которого удалено произвольное конеч-
ное множество точек (\проколы"). Многообразия с краем: замкнутый круг,
цилиндр [0; 1]S 1 , а также любое из приведенных выше многообразий, из кото-
рого удалены открытые окрестности произвольного конечного набора точек
(\дырки").
Пример 3. Объединение двух пересекающихся прямых не является многообра-
зием. Действительно, если из малой окрестности точки A пересечения прямых
выкинуть эту точку, то получаем пространство, состоящее из 4 компонент ли-
нейной связности. Выкидывая точку из n-мерного шара, мы получим либо 2
(при n = 1), либо 1 (при n  2) компоненту. Поэтому окрестность точки A не
гомеоморфна шару.
Пример 4 (лента Мебиуса). Это пространство M, получающееся из квадрата
[0; 1] 2 отождествлением точек вида (0; t) и (1; 1 t) при всех 0  t  1 (про-
думайте самостоятельно, как ввести в таком множестве топологию). Лента
Мебиуса | двумерное многообразие с краем. Точки (x; y) с 0 < y < 1 |
внутренние. Если 0 < x < 1, то в качестве окрестности, гомеоморфной от-
крытому кругу, можно взять множество (0; 1) 2  M. Если x = 0 или x = 1, то
в качестве такой окрестности берем объединение (y "; y + ")  [0; ") [ (1 y
"; 1 y + ")  (1 "; 1] (при достаточно малом " > 0), в котором надлежащие
точки отождествляются. Аналогично показывается, что точки c y = 0 и y = 1
образуют край ленты Мебиуса, который гомеоморфен окружности.
1

2МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУТОПОЛОГИЯ, 1 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 4. ПОВЕРХНОСТИ И ОРИЕНТИРУЕМОСТЬ.
Пример 5 (сфера с g ручками, или ориентируемая поверхность рода g). Это про-
странство  g , полученное из правильного 4g-угольника A 1 : : : A 4g отождествле-
нием всех сторон A i A i+1 и A i+2 A i+3 \с сохранением ориентации": точка, де-
лящая отрезок A i A i+1 в отношении t : (1 t), считая от вершины A i , переходит
в точку, делящую отрезок A i+2 A i+3 в том же отношении, считая от A i+3 . Не-
трудно видеть, что  g это двумерное многообразие без края. Происхождение
названий мы объясним позднее.
Пример 6 (сфера с g листами Мебиуса, или неориентируемая поверхность рода g 1).
Это пространство  0
g 1 , полученное той же конструкцией, что  g (из 4g-
угольника ! обратите внимание на обозначения), только отождествление сто-
рон производится \со сменой ориентации".
Двумерный тор с дыркой (это двумерное многообразие с краем окружность)
называется ручкой.
Предложение 1. Поверхность  g гомеоморфно двумерной сфере с g дырка-
ми, к каждой из которых приклеена по границе ручка. Поверхность  0
g 1
гомеоморфна двумерной сфере с g дырками, к каждой из которых приклеена
по границе лента Мебиуса.
Доказательство. Поверхность  1 это двумерный тор, который по определе-
нию получается из ручки приклеиванием к ее краю круга, т.е. сферы с одной
дыркой. Поверхность  0
0 (называемая проективной плоскостью) представля-
ет собой круг, у которого отождествляются диаметрально противоположные
точки границы. Вырежем в центре круга круглую дырку, отметим на ней две
диаметрально противоположные точки A и B, и соединим их с двумя диаме-
трально противоположными точками A 0 и B 0 на внешней окружности. Теперь
разрежем картинку по хордами AA 0 и BB 0 , и склеим две дуги A 0 B 0 внешней
окружности (так, чтобы отождествленные точки склеились). Нетрудно ви-
деть, что получится лента Мебиуса | то есть,  0
0 получается приклеиванием
к этой ленте круга.
Для произвольного g проведем в 4g-угольнике хорду A 1 A 4 . Она разбива-
ет 4g-угольник на (4g 3)-угольник и пятиугольник. Нетрудно видеть, что
при отождествлении сторон (4g 3)-угольник превращается в  g 1 (соответ-
ственно,  0
g 2 ) с дыркой, а пятиугольник | в ручку (соответственно, поверх-
ность  0
0 с дыркой, т.е. ленту Мебиуса). Сама хорда становится гомеоморфна
окружности. Тем самым, утверждение доказано индукцией по g.
Поверхности  g и  0
g линейно связны и не имеют края. Кроме того, как
топологические пространства они компактны (это свойство пространства X
означает, что если X = S
2A U , где все U | открытые окрестности, то
существует такое конечное множество индексов  1 ; : : : ; N 2 A таких, что
X = U1 [


[ UN ). Имеет место
Теорема 1 (о классификации компактных поверхностей). Всякое компактное
линейно связное двумерное многообразие без края гомеоморфно либо двумер-
ной сфере, либо одной и только одной поверхности  g или  0
g .
Мы не будем доказывать собственно классификационную теорему, т.е. утвер-
ждение, что кроме  g и  0
g , других поверхностей не существует. Позднее мы
докажем, что указанные поверхности попарно не гомеоморфны (это утвер-
ждение \и только одной" из теоремы).

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУТОПОЛОГИЯ, 1 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 4. ПОВЕРХНОСТИ И ОРИЕНТИРУЕМОСТЬ.3
Пусть  | поверхность без края (не обязательно компактная), p 2 . По
определению, существует окрестность U  , p 2 U , гомеоморфная кругу.
Тогда пространство U nfpg гомотопически эквивалентно окружности и, следо-
вательно,  1 (U nfpg) = Z. Рассмотрим пространство X, элементами которого
являются пары (p; ), где p 2 , а | петля, не проходящая через точку p,
для которой существует окрестность U точки p, гомеоморфная кругу и та-
кая, что класс гомотопии петли порождает группу  1 (U n fpg). При этом
мы отождествим точки (p; 1 ) и (p; 2 ), если кривые 1 и 2 гомотопны друг
другу в дополнении к точке p.
В пространстве X введем топологию: для каждой точки (p; ) 2 X найдется
окрестность V   точки p такая, что для всех q 2 V кривая порождает
группу  1 (U n fqg). Совокупность точек (q; ), где q 2 V , объявим открытой
окрестностью в X и обозначим A V; .
Теорема 2. Естественное отображение f(p; ) = p определяет двулистное
накрытие X ! . Пространство X является поверхностью без края.
Доказательство. Окрестность A U; гомеоморфна U , откуда следует, что X
| поверхность без края. Группа Zимеет две образующих: 1 и 1. Поэтому
при фиксированных p и U существуют ровно два класса гомотопии петель,
порождающих группу  1 (U n fpg). Тем самым, прообраз окрестности U 3 p,
гомеоморфной кругу, состоит из двух окрестностей вида A U; . Таким обра-
зом, проекция X !  | двулистное накрытие.
Поверхность  называется ориентируемой, если накрытие f : X !  три-
виально, и неориентируемой в противоположном случае.