Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s03/top1ex2.ps Дата изменения: Mon Mar 3 12:24:42 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 13:57:13 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: п п п п п

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ ТОПОЛОГИЯ, 2
СЕМЕСТР
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА И НАКРЫТИЯ
Пусть X | букет двух окружностей A и B, Y 1 , Y 2 , Y 3 | введенные на
лекции накрытия над ним.
Задача 1. а) Дайте формальное определение топологического пространства
Y 1 (\бесконечного дерева"). б) Обобщение. Закончите следующее определение:
пусть дано множество V и множество пар E  V  V . Графом с множеством
вершин V и с множеством ребер E называется следующее топологическое про-
странство : : :
Задача 2. Докажите, что пространство Y 1 стягиваемо.
Задача 3. Выведите из задачи 2 равенство  1 (X) = F 2 .
Фундаментальная группа букета n окружностей изоморфна Fn ; доказатель-
ство аналогично.
Задача 4. Постройте накрытия Y 1 ! Y 2 и Y 1 ! Y 3 и вычислите  1 (Y 2 ) и
 1 (Y 3 ).
Задача 5. Фудаментальные группы пространств Y 2 и Y 3 благодаря накры-
тиям над X можно рассматривать, как подгруппы F 2 . Что это за подгруппы?
Задача 6. Докажите, что любой связный конечный граф гомотопически экви-
валентен букету окружностей. Как связано число окружностей в букете с чи-
слом вершин и ребер графа?
Задача 7. Топологическое пространство является связным n-листным на-
крытием букета из k окружностей. Докажите, что гомеоморфно конечному
графу, и найдите число вершин и ребер этого графа.
Задача 8. Докажите, что если группа G является подгруппой свободной группы
F k с k образующими, и индекс jF k : Gj = n конечен, то G изоморфна свободной
группе F p . Выразите число p через n и k.
1