Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s03/nthexam.ps Дата изменения: Mon May 12 12:09:05 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 13:56:57 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: рассеянное скопление

Экзамен по курсу "Алгебраическая те-
ория чисел. Начальный курс", весенний
семестр, 2003
1) Пусть X | аффинное алгебраическое многообразие над Q,
заданное уравнениями с коэффициентами из Q. Известно, что X
имеет ровно одну особую точку. Доказать, что ее координаты из
Q.
2) (а) На вещественной плоскости нарисованы декартовы оси ко-
ординат, отмечена точка (0; 1) и нарисована кубическая парабола
y = x 3 . Построить циркулем и линейкой правильный 7-угольник.
(б) Все то же самое, только на плоскости не нарисованы оси
координат, но отмечено их начало (центр кубической праболы), а
отрезок длины 1 нарисован вдали от кубической параболы (то есть
выбран масштаб).
3) (а) Найти кольцо целых OK в поле K = Q(), где  | корень
многочлена x 3 3x + 1. (Указание: посчитайте дискриминант из
глобальных и локальных соображений.)
(б) Найти закон разложения простых чисел в кольце OK . (Ука-
зание: вычислите морфизмы Фробениуса, вложив данное расши-
рение в круговое.)
4) Рассматривая разложение простых чисел в соответствующих
кольцах целых, доказать, что если натуральное число m и про-
стое p взаимно просты, а r | произвольное натуральное число, то
Q(m ) \Q( p r ) = Q, где  k | примитивный корень k-ой степени из
1. Вывести из этого, что [Q( n ) : Q] = '(n).
5) Пусть f n (x) | минимальный многочлен над Q для  n . Ис-
пользуя теорию Галуа, найти для простого числа p вид разложения
редукции многочлена f n в F p [x] на неприводимые сомножители, в
случае, когда
(а) (p; n) = 1,
(б) p делит n.
6) Пусть K | локальное поле с конечным полем вычетов. До-
кажите, что для любого натурального числа n существует и един-
ственно с точностью до изоморфизма над K неразветвленное рас-
ширение L=K степени n. Другими словами, неразветвленное рас-
ширение локального поля однозначно определяется расширением
его поля вычетов.
7) Доказать, что спектр SpecR несвязен как топологическое про-
странство тогда и только тогда, когда существует разложение R =
AB в прямую сумму колец. (Указание: найдите ортогональные
1

2
идемпотенты, то есть такие элементы e 1 ; e 2 2 R, что e 1 e 2 = 0,
e 1 e 1 = e 2 e 2 = e 1 + e 2 = 1.)
8) Существует аддитивная теория Артина-Шрейера, рассужде-
ния в которой параллельны мультипликативной теории Куммера.
Она изучает циклические расширения степени p поля K, для кото-
рого charK = p > 0.
(а) Показать, что если в K содержится хотя бы один корень мно-
гочлена P a (x) = x p + x a, a 2 K, то в K есть и все остальные его
корни. Доказать, что в противном случае многочлен P a (x) непри-
водим, а расширение K()=K является циклическим расширением
Галуа, где  | корень P a (x).
(б) (аддитивная форма теоремы Гильберта 90) Пусть L=K |
циклическое расширение Галуа степени p с группой G =< g > p .
Доказать, что для любого элемента  2 L его след равен 0 тогда
и только тогда, когда существует элемент  2 L такой, что  =
 g().
(в) Пусть L=K циклическое расширение степени p. Тогда суще-
ствует a 2 K такое, что L = K(), где  | корень многочлена
P a (x).
9) (а) Доказать, что для любого натурального n существует рас-
ширение Галуа K=Q с группой Галуа, изоморфной Z=nZ.
(б) Любая ли конечная абелева группа изоморфна группе Галуа
для некоторого абелева расширения Q?
При решении задач можно пользоваться всеми утверждениями из
курса, в том числе и не доказанными.
Удачи!