Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s03/homalg4.ps Дата изменения: Mon Apr 21 14:00:03 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 13:54:24 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п

Основы гомологической алгебры, занятие 4.
25 марта 2003 года.
Пусть у нас есть аддитивный точный справа функтор F из категории модулей над кольцом
в другую категорию модулей над кольцом, например, в категорию абелевых групп. Определим
левые производные функторы L i F следующим образом: пусть P (M) | некоторая проективная
резольвента M: Положим L i F (M) := H i (F (P (M)); а для морфизма f : M ! N возьмём (по
задаче 13 из прошлого занятия) его продолжение до морфизма резольвент, применим к мор-
физму резольвент F и возьмём получившийся морфизм в гомологиях. Двойственным образом
определяются правые производные точного слева функтора.
(На самом деле формально предыдущее определение никуда не годится, так как функтор
должен сопоставлять каждому объекту другой, определённый однозначно, а не с точностью
до единственного изоморфизма, как получится при выборе разных проективных резольвент,
поэтому резольвенту надо брать не какую-нибудь, а строить функториально. А именно, пусть
M | A-модуль. Рассмотрим свободный A-модуль A (M) ; базисом которого являются все элемен-
ты M; и морфизм " : A (M)  M; переводящий каждый базисный элемент в соответствующий
элемент M: Затем так же накроем Ker "; и так далее. Если задан морфизм ' : M ! N; то соот-
ветствующий морфизм A (M) ! A (N) будет переводить базисный элемент m в базисный элемент
'(m); тогда он будет переводить Ker " M в Ker " N ; так что можно так же продолжить его на
следующие члены резольвенты. Этот функтор называется канонической свободной резольвен-
той. Он не аддитивен как функтор в категорию комплексов, но аддитивен как функтор в
гомотопическую категорию комплексов.
Для канонической инъективной резольвенты возьмём инъективный (как коиндуцирован-
ный с инъективного) A-модуль F = HomZ (A; Q=Z)и для всякого M положим I(M) = F HomA (M;F )
с отображением e : M ! I(M); e(m) = ('(m)) '2HomA (M;F ) : Тогда I(M) тоже инъективен, как
прямое произведение инъективных, а e | вложение, так как HomA (M; F ) = HomZ (M; Q=Z);
и для любого m 2 M n f0g есть ' 2 HomZ (M; Q=Z) с '(m) 6= 0: пусть аннулятор m в Zесть
(n); тогда возьмём гомоморфизм Zm ! Q=Z; переводящий m в 1=n + Zпри n > 0 и в 1=3 + Z
при n = 0; и продолжим его с Z-подмодуля на весь M по инъективности Q=Z: Затем так же
вложим Coker e в инъективный модуль, и так далее. Для морфизма f : M ! N положим
I(f) : (x ' ) '2HomA (M;F ) 7! (x фf ) 2HomA (N;F ) :)
1. а) Докажите, что L i F = 0 при i < 0; L 0 F = F; а также что при выборе другой резольвенты
имеется единственный естественный изоморфизм гомологий с производными функторами.
б) Как определяются левые производные контравариантного функтора?
Дадим аксиоматическое описание производных функторов. Последовательность функторов
F i с F i = 0 при i < 0 и с морфизмом ф : F i (P ) ! F i 1 (M) для соответствующих функторов на
категории коротких точных последовательностей модулей 0 !M ! N ! P ! 0; для которого
последовательность



! F i (M) ! F i (N) ! F i (P ) ф
!F i 1 (M) ! : : :
точна, называется ф-функтором.
Аддитивный функтор F называется костирающим, если для любого M существует эпи-
морфизм f : X M; для которого F (f) = 0: Двойственное понятие | стирающий функтор.
2. Постройте ф-функтор с F i = L i F:
3. Покажите, что L i F | костирающие при i > 0:
4. Покажите, что ф-функтор, в котором F i | костирающие при i > 0; изоморфен ф-функтору
L i F 0 :
1

Определим Tor A
i (
;
) как левые производные к функтору


A
по первому аргументу, а
Ext i
A (
;
) | как правые производные к HomA (
;
) по первому аргументу.
5. Покажите, что функторы Ext и Tor являются производными и по второму аргументу.
6. а) Посчитайте Ext и Tor для конечно порождённых абелевых групп.
б) Посчитайте Ext и Tor для конечно порождённых модулей над Z=360Z:
в) Посчитайте Tor |[x;y;z]
i (|; |); где |= |[x; y; z]=(x; y; z) как модуль.
Модуль M называется F-ацикличным для точного справа функтора F; если L i F (M) = 0
при i > 0:
7. (Ацикличная резольвента вычисляет производные функторы.) Пусть комплекс K: состоит
из F-ацикличных модулей, K i = 0 при i < 0; H 0 (K:) = M; H i (K:) = 0 иначе. Покажите, что
H i (F (K:)) естественно изоморфно L i F (M):
8. Покажите, что следующие условия эквивалентны:
а) модуль I инъективен;
б) Ext i
A (
; I) = 0 для всех i > 0;
в) Ext 1
A (A=J; I) = 0 для любого левого идеала J в A:
Левый A-модуль M называется плоским, если функтор


A M точен. Аналогично опреде-
ляются плоские правые модули.
9. Докажите, что проективный модуль плоский и прямая сумма плоских модулей плоская.
10. (Плоскость и соотношения.) Пусть N | правый A-модуль, M | левый A-модуль, n 1 ; : : : ; n n 2
N: Соотношение между n i с коэффициентами в M | это такой набор m 1 ; : : : ; m n 2 M; что
P
n
i
m i = 0 в
N
A M: Покажите, что M плоский ,для любого модуля N и любого конечного
набора n 1 ; : : : ; n n элементов в N все соотношения между этими элементами с коэффициентами в
M являются линейными комбинациями соотношений между этими элементами с коэффициента-
ми в A; то есть для соотношения (m 1 ; : : : m n ) найдутся наборы (a 11 ; : : : ; a n1 ); : : : , (a 1m ; : : : ; anm );
a ij 2 A; и элементы m 0
1 ; : : : ; m 0
m 2 M; для которых
P
i n i a ij = 0 и m i =
P
j a ij m 0
j :
11. Покажите, что следующие условия эквивалентны:
а) модуль M плоский;
б) Для любого вложения N  P отображение
N
A M !
P
A M | вложение;
в) Tor A
i (
; M) = 0 для всех i > 0;
г) Tor A
1 (A=I ; M) = 0 для любого правого идеала I в A;
д) для любого конечно порождённого правого идеала I  A отображение
I
AM !
A
AM  =
M | вложение.
12. Докажите, что модуль над областью главных идеалов плоский ,у него нет кручения.
2