Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s03/algprog.ps Дата изменения: Wed May 7 16:57:48 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 13:46:40 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: п п р р р р р р р р р р р р р р

Программа экзамена по алгебре
1 курс, весна 2003 г.
На зачете каждому студенту будет предлагаться по одному вопросу на темы Ђгруппы, поля, категорииЃ и
Ђтеория представленийЃ, и два вопроса по теме Ђлинейная алгебраЃ. После каждого вопроса указано при-
мерное предполагаемое содержание ответа (темы, изучавшиеся на лекциях (номер лекции указан римскими
цифрами), и задачи, изучавшиеся на семинарах (указана дата выдачи листка с задачами)).
 Группы, поля, категории.
1. Разрешимые группы. | (I) 1.2, 2.2{2.4.
2. Характеры групп. | (I) 3.1, 3.2, (15а) 13.
3. Теорема Гильберта-90. | (I) 3.3, 3.4, 5.1, 5.2, (11ф) 4.
4. Разрешимость уравнения в радикалах. | (I) 1.1, 1.3, 4.4, 4.5. (11ф) 1.
5. Целые алгебраические числа. | (XI) 1.1{1.6, (22а) 3, 4.
6. Категории. | (II) 1.1{1.5.
7. Функторы. | (II) 3.1{3.3.
8. Морфизмы функторов. | (II) 3.4{3.7, (18ф) 7, 8, (08а) 4.
9. Универсальные объекты. | (II) 2.1{2.4.
10. Произведения и копроизведения. | (II) 2.3.1{2.3.2, (18ф) 1, 2, (25ф) 7
11. Задание группы образующими и соотношениями. | (II) 2.3.3, 2.4, (18ф) 3ab, 4, 5.
 Линейная алгебра.
1. Двойственность. | (III) 1.1{1.9, (25ф) 1.
2. Тензорное произведение. | (III) 2.1{2.5, (25ф) 2{4.
3. Канонические изоморфизмы. | (III) 3.1, 3.2, (25ф) 5, 6.
4. Билинейные формы. | (IV) 1.1{1.13, (4м) 2.
5. Симметрические и знакопеременные формы. | (IV) 2.1{2.9, (4м) 1ab, 3.
6. Эрмитовы формы. | (IV) 3.1{3.6, (4м) 1cd.
7. Сигнатура. | (V) 1.1{1.3, (11м) 1.
8. Положительная определенность. | (V) 2.1{2.7.
9. Евклидова геометрия. | (V) 3.1{3.4, (11м) 3, 5.
10. Ортогональная и унитарная группы. | (V) 4.1{4.5, 5, (11м) 6, 7a, (18м) 6b.
11. Сопряженные операторы. | (VI) 1.1{1.6, 2.1{2.3.
12. Спектральная теорема (эрмитов случай). | (VI) 3.1{3.4.
13. Спектральная теорема (симметрический случай). | (VI) 5.1{5.3.
14. Комплексификация и овеществление. | (VI) 4.1{4.5.
15. Полярное разложение. | (VI) 6.1{6.3, (18м) 7.
16. Тензоры. | (VII) 1.1{1.9.
17. Симметрические и кососимметрические тензоры. | (VII) 2.1{2.10, (25м) 1.
18. Пфаффианы. | (VIII) 1.1{1.5, (01а) 2.
19. Уравнения Плюккера. | (VIII) 2.1{2.12, (01а) 5.
20. Алгебры. | (VII) 3.1{3.8, (25м) 2, 6ab, 7.
 Теория представлений.
1. Представления групп. | (IX) 1.1{1.9, 2.1, 2.2, (08а) 1, 7.
2. Теорема Машке. | (IX) 3.1{3.6, (08а) 5.
3. Лемма Шура. | (IX) 4.1{4.8, (15а) 5.
4. Характеры представлений, соотношения ортогональности. | (X) 1.1{1.4, 2.1{2.7, (15а) 1abc.
5. Следствия соотношений ортогональности. | (X) 3.1{3.8.
6. Кольцо Гротендика. | (X) 4.1{4.3, (08а) 2, (15а) 2.
7. Степени неприводимых представлений. | (XI) 1.7{1.9.
8. Ограничение и индукция. | (XI) 2.1{2.9, (22а) 6, 8, 10, 12.
9. Представления абелевых групп.
10. Представления произведения групп. | (XI) 3.1{3.5.
1