Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s03/alg-geomexam.ps Дата изменения: Wed May 21 18:40:37 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 17:02:20 2007 Кодировка: koi8-r

Алгебраическая Геометрия от A L G 21 мая 2003
Письменный экзамен
для получения оценки ЂотличноЃ
достаточно полностью решить любые 4 задачи
Задача 1. Рассмотрим гиперповерхность S  P(S 2 V  ), состоящую из всех вырожденных ква-
дрик Q  P n = P(V ), dimV = (n + 1). Докажите, что:
а) точка Q 2 S тогда и только тогда неособа, когда соответствующая квадрика в P n имеет
единственную особую точку;
б) касательное пространство TQS к S в такой точке состоит из всех квадрик в P n , прохо-
дящих через вершину Q.
Задача 2. Обозначим через W  S 3 V  подпространство всех кубических форм, зануляющихся
в данных 6 точках p 1 ; p 2 ; : : : ; p 6 2 P 2 = P(V ), не лежащих ни на какой конике, и пусть
P n = P(W ), P 
n = P(W  ). Сопоставим каждой точке p 62 fp 1 ; p 2 ; : : : ; p 6 g множество C p  P n
всех кубических кривых из P(W ), проходящих через p. Докажите, что
а) C p  P n является там гиперплоскостью (т. е. точкой из P 
n ) и найдите n;
б) когда p пробегает любую из 12 прямых (p i p j ), соответствующая точка C p 2 P 
n рисует
там прямую;
в) когда p пробегает любую из 6 коник, проходящих через какие-то 5 точек из p 1 ; p 2 ; : : : ; p 6 ,
соответствующая точка C p 2 P 
n также рисует там прямую;
г) кубики из W , содержащие любую из предыдущих пяти коник в качестве компоненты,
составляют прямую в P n .
Задача 3. Докажите, что на пространстве однородных форм четвёртой степени от 4 пере-
менных имеется универсальный многочлен от коэффициентов формы, обращение которого в
нуль на форме F равносильно тому, что квартика, заданная в P 3 уравнением F = 0, содержит
прямую.
Задача 4. Для всякого возрастающего набора индексов I = (i 1 ; i 2 ; : : : ; i k )  f1; 2; : : : ; ng по-
ложим #I def
= k, jIj def
=
P i  , b
I def
= f1; 2; : : : ; ng n I, рассмотрим векторное пространство V с
базисом fe 1 ; e 2 ; : : : ; e n g, и фиксируем соответствующий базис e I
def
= e i 1
^ e i 2
^


^ e i k
2  k V
пространства однородных грассмановых форм k-ой степени. Тогда
e I ^ e b
I = e 1 ^ e 2 ^


^ e n : (1)
а) Точно вычислите знак в (1) в терминах jIj, n, k.
б) Докажите, что для любого набора J из k столбцов произвольной n  n - матрицы A
имеет место соотношение Лапласа:
X
I
( 1) jIj+jJj A IJ A b I b
J = det(A) ;
где I пробегает всевозможные наборы из k строк матрицы A, а A IJ обозначает k  k -
минор A, расположенный в пересечениях строк из I и столбцов из J .
Задача 5. Рассмотрим тривиальное векторное расслоение E = C r  A n над A n . Верно ли, что
любое его нигде не обращающееся в нуль регулярное (алгебраическое) сечение A n  s - E
можно дополнить до глобального базиса из регулярных сечений для а) n = 1? б) 8 n?
Задача 6. Докажите, что всякое алгебраическое 2{2 соответствие на неособой конике C  P 2
реализуется каждым из следующих двух способов при помощи подходящей коники C 0 :
а) p $ q () (pq) касается C 0 ; б) p $ q () T p C \ T q C 2 C 0 .
Задача 7. Докажите, что всякое локально тривиальное алгебраическое расслоение над P 1 явля-
ется прямой суммой одномерных расслоений вида O (d).