Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s02/symdeqprob.ps Дата изменения: Thu Jan 23 16:43:50 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 16:33:55 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п

А. В е р б о в е ц к и й , Б. К р у г л и к о в
Интегрируемость и симметрии дифференциальных
уравнений
З а д а ч а 1. Доказать, что все распределения ранга k в R n в общем положении без (ло-
кальных) модулей исчерпываются случаями (k; n) = (1; n); (n 1; n); (2; 4). Найти соответ-
ствующие локальные нормальные формы.
З а д а ч а 2. Рассмотрим распределение  1 в R N . Обозначим модуль его сечений через
D 1 = C 1 ( 1 ) и положим D 2 = [D 1 ; D 1 ]. Пусть модуль D 2 проективен, т.е. D 2 = C 1 ( 2 ) для
нового распределения  2 . Далее определяем по индукции D i+1 = [D 1 ; D i ], D i = C 1 ( i ).
Распределение будем называть регулярным, если ранги всех  i постоянны. Определим
[i] =  i = i 1 , G() = [i].
 Используя коммутаторы и факторизацию, определить структуру градуированной
алгебры Ли на G() для регулярных распределений  (она обобщает конструкцию
кривизны распределения и называется инвариантом Танаки или нильпотентной ап-
проксимацией; кстати, а почему нильпотентной?).
 Вычислить эту алгебру для распределения Картана C k в J k (R n ; R m ).
 Для n = 1 использовать вышеприведенное описание для геометрической характе-
ризации распределения Картана (нормальная форма Гурса). Обобщить на случай
произвольного n.
З а д а ч а 3. Доказать, что если Э ' является симметрией уравнения E = fF i = 0g и
система E совместна (формально интегрируема), то и система E 0 = fF i = 0; ' = 0g со-
вместна. Две варианта задачи: легкий случай одного (скалярного) уравнения codim(E) = 1
и более сложный общий.
З а д а ч а 4. Исследовать на совместность системы (a, b | константы)
1. E = fu xx u yy = 0; det Hess(u) = ae bu g.
2. E = fu xx + u yy = (au + b) 1 ; det Hess(u) = 0g.
З а д а ч а 5. Рассмотрим уравнение ассоциативности
F = u 222 u 2
112 + u 111 u 122 = 0
на функцию u = u(x 0 ; x 1 ; x 2 ) от трех переменных. Выясните, при каких значениях кон-
станты r это уравнение можно так переопределить уравнением G = x 2 u 2 ru = 0, что
полученная система будет совместна. В каких случаях G будет симметрией?
З а д а ч а 6. Провести вычисление когомологий Спенсера и тензоров Вейля для полно-
стью определенной системы
E = fp  = F  (x; p  ); jj = k; 0 6 j j < kg  J k (R n ; R m ):
Сформулировать критерий интегрируемости.
З а д а ч а 7. То же самое для системы
E = fp ij = F ij (x; t; u; p t ); 1 6 i < j 6 ng  J 2 (R n ; R m ):
З а д а ч а 8. Рассмотрим конформную алгебру Ли co(n) = R so(n) ' R  2 V  , где
V = R n суть модельное пространство с конформной евклидовой структурой. Доказать,
что co(n) (1) = V  для всех n, co(n) (i) = 0 для i > 2 и n > 2. Разобрать отдельно случаи
n = 1; 2.
1

З а д а ч а 9. Изучить эрмитову структуру с точки зрения G 0 -структур. В данном случае
модельное (линейное) пространство V размерности 2n снабжено евклидовой структурой
h ; i, комплексной структурой J и симплектической структурой ( ; ), которые согласованы
в следующем смысле: h; i = (J; ). Алгебра автоморфизмов g 0 = u(n) является пересече-
нием любых двух из алгебр автоморфизмов отдельных структур g 1 = so(V ), g 2 = gl C (V ) и
g 3 = sp(V ). Для соответствующей системы УрЧП EG  J 1 (M ; V ) посчитать когомологии
Спенсера и тензоры Вейля. Сформулировать критерий интегрируемости геометрической
структуры.
З а д а ч а 10. Покажите, что задача о движении на прямой трех точек, взаимодейству-
ющих между собой с силой, обратно пропорциональной кубу расстояния между ними,
разрешима в квадратурах.
З а д а ч а 11. Пусть E | контактное (или симплектическое) многообразие, а I k (E) |
многообразие k-джетов лежандровых (соотв., лагранжевых) подмногообразий в E. Дока-
жите, что при k > 2 естественные проекции  k;k 1 : I k (E) ! I k 1 (E) являются аффинны-
ми расслоениями, опишите их и докажите, что поднятия контактных (соотв., симплекти-
ческих) диффеоморфизмов суть аффинные автоморфизмы.
З а д а ч а 12. Опишите алгебру внутренних симметрий уравнения Гильберта{Картана
v 0 = (u 00 ) 2 . (Это недоопределенное обыкновенное уравнение.)
З а д а ч а 13 (коммутаторное тождество). Пусть ' | симметрия уравнения E = fF =
0g. Докажите, что существует такой C-дифференциальный оператор
, что на E 1 вы-
полняется тождество [Э ' ` ' ; ` F ] =
ф ` F .
З а д а ч а 14. Вычислите симметрии нелинейного уравнения теплопроводности
u t = (k(u)u x ) x ;
где k(u) | некоторая гладкая функция.
З а д а ч а 15. Вычислите алгебру классических симметрий уравнения КдФ u t = 6uu x
u xxx . Постройте такой минимальный набор S подалгебр в ней, чтобы любое инвариант-
ное решение уравнения КдФ могло быть получено действием некоторой симметрии из
некоторого g-инвариантного решения для g 2 S.
З а д а ч а 16. Профакторизуйте уравнение Лапласа u xx +u yy = 0 по действию двумерной
группы трансляций вдоль x и y.
З а д а ч а 17. Профакторизуйте пространство J 1 (R 3 ; 2) бесконечных джетов двумер-
ных подмногообразий в R 3 по действию группы евклидовых движений пространства R 3 .
2