Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s01/notes/top3.ps Дата изменения: Thu Jan 23 16:43:48 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 18:51:14 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: система координат галактическая

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ ТОПОЛОГИЯ, 2 СЕМЕСТР
НАКРЫТИЯ
Задача 0. Закончите следующее определение: пусть дано конечное множество V = fv 1 ; : : : ; v ng и конечное
множество пар E = f(v i 1
; v j1 ); : : : ; (v i N ; v jN )g. Конечным графом с множеством вершин V и с множеством
ребер E называется следующее топологическое пространство: : : :
Задача 1. Докажите, что любой связный конечный граф (определенный в задаче 0) гомотопически экви-
валентен букету окружностей. Как связано число окружностей в букете с числом вершин и ребер графа?
Задача 2. Топологическое пространство является связным n-листным накрытием букета из k окружно-
стей. Докажите, что гомеоморфно конечному графу, и найдите число вершин и ребер этого графа.
Задача 3. Используя результаты задач 9, 1 и 2, докажите, что если группа G является подгруппой сво-
бодной группы F k с k образующими, и индекс jF k : Gj = n конечен, то G изоморфна свободной группе
F p . Выразите число p через n и k. Продумайте возможность чисто алгебраического доказательства этого
утверждения.
Задача 4. Лентой Мебиуса M называется квадрат, правая и левая сторона которого отождествлены так:
?
6 . Постройте двулистное накрытие s : C !M ленты Мебиуса цилиндром C = S 1  [0; 1]. Докажите,
что  1 (M ) =  1 (C) = Z, и опишите отображение фундаментальных групп s  :  1 (C) !  1 (M ).
Задача 5. Проективной плоскостью RP 2 называется квадрат, стороны которого попарно отождествлены
так: ?
-
6

. Постройте двулистное накрытие c : S 2 ! RP 2 и вычислите группу  1 (RP 2 ). Докажите, что
окрестность границы квадрата на рисунке гомеоморфна ленте Мебиуса. Что представляет собой прообраз
c 1 (окрестности)  S 2 ?
Задача 6. Бутылкой Клейна K называется квадрат, стороны которого отождествлены так:
-
?
-
6 . По-
стройте двулистное накрытие c : T 2 ! K и опишите подгруппу (индекса 2) c  ( 1 (T 2 ))   1 (K). Докажите,
что  1 (K) порождена двумя образующими a и b, связанными единственным соотношением abab 1 = 1.
Пусть G | группа, а g 1 ; : : : ; g n | система ее образующих. Графом, связанным с (G; g 1 ; : : : ; g n ), называется
граф, вершины которого | элементы группы, и две вершины a и b соединены ребром тогда и только тогда,
когда для некоторого k = 1; : : : ; n выполнено равенство b = ag 1
k .
Задача 7. Постройте граф, связанный с (G; g 1 ; : : : ; g n ), и вычислите его фундаментальную группу в случае
а) G = Z; g = 1; б) G = S 3 ; g 1 = (12); g 2 = (23); в  ) G = Sn ; g 1 = (12); g 2 = (23); : : : ; g n 1 = (n 1; n).
Задача 8. Пусть G = Fn | свободная группа, g 1 ; : : : ; g n | ее стандартные образующие, | граф, связан-
ный с (G; g 1 ; : : : ; g n ). а) Пусть N  | подграф, натянутый на вершины, соответствующие словам длины
не более N . Докажите, что N стягиваем. б) Докажите, что граф стягиваем.
Задача 9. Постройте накрытие ! Vn , где | граф из задачи 8, а Vn | букет n окружностей. Докажите,
что  1 (Vn ) = Fn .
1