Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s01/notes/repr6.ps Дата изменения: Thu Jan 23 16:43:48 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 19:07:19 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: comet

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ, 2 СЕМЕСТР
ЛЕКЦИЯ 6
Напомню структуру полупростой алгебры Ли. Она определяется системой корней R  h  и допускает
разложение
g = h 
M
2R
Cu :
При этом h | коммутативная подалгебра, [h; u ] = (h)u при h 2 h и
[u  ; u  ] =
8 <
:
N ; u+  +  2 R

  +  = 0
0 иначе
Выберем подмножество положительных корней R+  R и набор простых корней  1 ; : : : ; n 2 R+ . Тогда
элементы h i = 
 i , e i = u i , f i = u  i будут образующими алгебры Ли g. Введем также обозначения e  = u
и f = u  для  2 R+ .
Предложение 1. Всякое неприводимое конечномерное представление g имеет базис из общих собствен-
ных векторов h i .
Доказательство. Действительно, набор коммутирующих операторов имеет общйи собственный вектор.
Поэтому достаточно доказать, что пространство, натянутое на общие собственные векторы | подпредста-
вление. И в самом деле, если v  ,  2 h  | общий собственный вектор, то
h i u v  = uh i v  + [h i ; u ]v  = ( + )u v  :
Собственные значения общих собственных векторов задаются элементами h  . Будем называть их ве-
сами представления. Мы уже проверили, что действие элемента u прибавляет к весу . Выведем условие
целочисленности весов.
Предложение 2. Собственные значения действия h i на конечномерных представлениях | целые числа.
Действительно, h i , e i , f i составляют подалгебру, изоморфную sl 2 , а собственные значения действия кар-
тановского элемента sl 2 на конечномерных представлениях | целые числа. Будем дальше называть такие
веса целыми.
Пусть теперь ' 2 h | функционал на пространстве весов, нулевые значения которого отделяют положи-
тельные корни (на которых значение ' положительно) от отрицательных. Будем предполагать ' достаточно
общим, чтобы значения ' на целых весах различальсь. Вес представления, значение ' на котором макси-
мально, будем называть старшим. Для него, помимо условия целочисленности, есть еще следующее условие
доминантности.
Предложение 3. Пусть  | старший вес конечномерного представления g. Тогда (h i )  0.
Доказательство. Пусть v | вектор старшего веса. Тогда e i v = 0. Значит, v | вектор старшего веса и
для подалгебры, порожденной h i , e i , f i . Но положительность действия картановского элемента sl 2 на нем
нам известна.
Пример 1. Будем обозначать вес вектором{строкой, i{тая компонента которого равна значению на
h i . Пусть V | тавтологическое представление алгебры Ли sl n . Тогда его старший вес равен (1; 0; : : : ; 0).
Старший вес представления ^ k V равен (0; : : : ; 0; 1; 0; : : : ; 0), где единица стоит на k{том месте. А старший
вес приводимого представления
V
r1
^ 2 V


r2
: : : ^ n 1 V


rn 1
равен (r 1 ; : : : ; r n 1 ). Таким образом,
существует представление с данным целым доминантным старшим весом.
Задача 1. Найдите старший вес тавтологического и присоединенного представления алгебр Ли so n и sp n .
Определение 1. Решетка в h  , элементы которой действуют на h i целыми числами, называется решеткой
весов. Решетка в h  , порожденная корнями называется решеткой корней.
Ясно, что решетка корней вложена в решетку весов.
Задача 2. Найдите фактор решетки весов по решетке корней для алгебр Ли sl n , so n и sp n .
Теорема 1. Неприводимое конечномерное представление с данным целым доминантным старшим весом
существует и единственно с точностью до изоморфизма.
Доказательство. Для доказательства определим наибольшее представление с данным старшим весом.
Чтобы мотивировать последующее определение докажем следующую лемму.
1

2МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ, 2 СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 6
Лемма 1. ("собирательный процесс") Пусть x 1 ; : : : ; xN | базис алгебры Ли a, v | произвольный вектор
неприводимого представления V этой алгебры. Тогда векторы x r1
1 : : : x rN
N v порождают представление как
векторное пространство.
Доказательство. В силу неприводимости V , оно порождено векторами вида x i 1 : : : x i s v как векторное
пространство. Число s назовем длиной такого вектора. Заметим, что векторы x i 1 : : : x i k x i k+1 : : : x s v и
x i 1 : : : x i k+1 x i k : : : x s v различаются на сумму векторов меньшей длины. Поэтому можем упорядочить все
сомножители по модулю векторов меньшей длины. Индукция по длине доказывает лемму.
Следствие 1. Пусть v | вектор старшего веса неприводимого представления V полупростой алгебры Ли
g,  1 ; : : : ; N | положительные корни g. Тогда V порождено векторами вида f r1
1 : : : f rN
N v как векторное
пространство.
Действительно, это следует из леммы 1, примененной к базису f 1 ; : : : ; f N , h 1 ; : : : ; hn , e 1 ; : : : ; e N (именно
в таком порядке).
Определение 2. Представлением Верма M  называется пространство с базисом
f r1
1 : : : f rN
N v ;
действие g на котором определяется с помощью собирательного процесса и соотношений e  v  = 0, h i v =
(h i ).
Упражнение 1. Докажите, что представление Верма действительно является представлением.
Предложение 4. Всякое неприводимое представление со старшим весом  является фактором предста-
вления Верма M  .
Действительно, если v | вектор старшего веса , то определено сюръективное отображение из M  в
наше представление, переводящее f r1
1 : : : f rN
N v  в f r1
1 : : : f rN
N v.
Упражнение 2. Докажите, что представление Верма не зависит от способа упорядочивания.
Предложение 5. Всякий нетривиальный фактор представления Верма M  имеет старший вес .
Действительно, так как M  порождено вектором v  , образ v  в любом нетривиальном факторе не равен
нулю. Он и будет вектором старшего веса.
Лемма 2. Существует ровно один нетривиальный неприводимый фактор представления Верма.
Доказательство. Будем называть подпредставление собственным, если оно не совпадает со всем пред-
ставлением.
Докажем равносильное утверждение, а именно, что существует и единственно максимальное (по вложе-
нию) собственное подпредставление.
Заметим, что всякое подпредставление является подпредставлением и относительно картановской подал-
гебры, поэтому оно разлагается в прямую сумму весовых подпространств. При этом, так как представление
Верма M  порождено вектором старшего веса v  , подпредставление является собственным тогда и только
тогда, когда оно не содержит вектора веса . Ясно, что это свойство сохраняется при взятии суммы
подпредставлений, поэтому максимальным собственным подпредставлением будет сумма всех собственных
подпредставлений и только она.
И так, искомое неприводимое представление V  будет фактором M  по максимальному собственному
подпредставлению. Таким образом, мы построили неприводимое представление с данным старшим весом
и доказали, что оно единственно с точностью до изоморфизма. Осталось доказать, что если старший вес
целый и доминантный, то представление V  конечномерно.
Лемма 3. Пусть вес  целый и доминантный. Тогда подпредставление S   M  , порожденное векторами
u i = (f i ) (h i )+1 v  , | собственное.
Доказательство. Так как S  является суммой подпредставлений, порожденных u i , нам достаточно дока-
зать, что каждое из этих подпредставлений | собственное.
Так как элементы e i , h i , f i образуют подалгебру, изоморфную sl 2 , мы знаем, что e i u i = 0. Кроме того,
так как e j коммутирует с f i при i 6= j, имеем e j u i = 0. Тогда, так как все e  выражаются через коммутаторы
e j , имеем e u i = 0.
Значит, применяя лемму 1, получим, что все веса рассматриваемого подпредставления не старше веса u i ,
и вектор v  в нем не содержится.
Доказательство того, что M  =S  | конечномерно будет произведено на следующей лекции. Так как
неприводимое представление является фактором M  по подпредставлению, содержащему S  , это докажет
теорему.