Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s01/notes/repr5.ps Дата изменения: Thu Jan 23 16:43:48 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 19:07:12 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: uv

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ, 2 СЕМЕСТР
ЛЕКЦИЯ 5
Максимальные торы компактных групп
Упражнение 1. Всякая связная коммутативная компактная группа Ли | тор.
Определение 1. Максимальным тором компактной группы Ли называется максимальная по вложению
коммутативная связная подгруппа Ли.
Предложение 1. Касательное подпространство к максимальному тору является максимальной комму-
тативной подалгеброй Ли.
Действительно, если бы касательное пролстранство к максимальному тору содержалось в большей комму-
тативной подалгебре, то замыкание группы, порожденной экспонентами элементов этой подалгебры, было
бы связной коммутативной подгруппой Ли, содержащей максимальный тор, но не совпадающей с ним.
Упражнение 2. Докажите, что всякая максимальная коммутативная подалгебра Ли является касатель-
ным пространством к некоторому максимальному тору.
Упражнение 3. Докажите, что в торе T N найдется элемент, степени которого плотны в T N .
Такой элемент будем называть иррациональной образующей, а направление всюду плотной обмотки будем
называть иррациональным направлением.
Основным техническим средством для изучения картановских подгрупп будет следующая теорема.
Теорема 1. Пусть группа G компактна. Токда экспоненциальное отображение из Lie(G) в G сюръек-
тивно.
Упражнение 4. Найдите образ экспоненциального отображения для группы SL 2 (R).
Доказательство. Доказательство основано на римановой геометрии | геометрии многообразий со ска-
лярным произведением на касательных пространствах.
На алгебре Ли компактной группы определено инвариантное скалярное произведение. Разнесем его ле-
выми или правыми (это не важно в силу инвариантности) сдвигами по всей группе. Теперь мы можем
определить длину кривой по правилу
l(') =
Z 1
0
p
( _
'(t); _
'(t))dt:
Будем называть кривую наикратчайшей, если она имеет наименьшую длину среди всех кривых с данными
концами.
Определение 2. Геодезической линией называется кривая, всякий достаточно малый отрезок которой
является наикратчайшим.
В частности, наикратчайшая кривая является геодезической линией.
Лемма 1. Геодезическими линиями на компактной группе Ли G являются кривые g
exp(ta), где g 2 G,
a 2 Lie(G), и только они.
Лемма 2. Пусть многообразие M геодезически полно, то есть всякая геодезическая может быть про-
должена до бесконечности. Тогда любые две точки M можно соединить геодезической линией.
Доказательство леммы 2 и (в менее явном виде) леммы 1 можно найти в книге Дж. Милнора "Теория
Морса" (глава 2, x 10). Терема немедленно следует из этих двух лемм.
Следствие 1. Всякий элемент компактной группы Ли содержится в некотором максимальном торе.
Действительно, всякий элемент g группы Ли является экспонентой некоторого элемента a алгебры Ли.
Рассмотрим замыкание подгруппы, состоящей из элементов exp(ta). Она коммутативна и связна, а значит,
она содержится в некотором максимальном торе. Тогда и элемент g содержится в нем.
Теорема 2. Любые два максимальных тора | сопряжены.
Доказательство.
1

2МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ, 2 СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 5
Лемма 3. Пусть T | максимальный тор компактной группы Ли G. Тогда всякий элемент g 2 G сопря-
жен элементу T .
Доказательство. Пусть x, y | элементы Lie(G), такие что exp(x) = g, а y | иррациональное направле-
ние T . Определим функцию на группе G формулой '(u) = (x; uyu 1 ), где скобки означают инвариантное
скалярное произведение. Эта функция непрерывна, значит, в силу компактности группы, она достигает
максимума в некоторой точке u 0 2 G. Докажем, что u 1
0
gu 0 2 T . Действительно, для всякого z 2 Lie(G)
0 = d
dt '(u 0 exp(tz)) = d
dt (x; u 0 exp(tz)
y
exp( tz)u 1
0
) = (x; u 0 [z; y]u 1
0
) = ([y; u 1
0
xu 0 ]; z);
Значит, [y; u 1
0
xu 0 ] = 0. Тогда u 1
0
xu 0 коммутирует с exp(ty), а значит и со всеми элементами тора. Но так
как касательное пространство к тору является максимальной коммутативной подалгеброй, отсюда следует,
что u 1
0
xu 0 принадлежит касательному пространству к тору, а u 1
0
gu 0 принадлежит самому тору.
Пусть теперь T 1 и T 2 | два максимальных тора. Тогда, применяя лемму к тору T 1 и иррациональному
направлению в T 2 , получим, что T 2 сопряжен подгруппе T 1 . В силу максимальности это означает, что T 1 и
T 2 | сопряжены.
Определение 3. Пусть G | группа, H | ее подгруппа. Централизатором Z(H)  G подгруппы H в
G будем называть подгруппу, состоящую из элементов G, коммутирующих со всеми элементами H. Нор-
мализатором Norm(H)  G подгруппы H в G будем называть подгруппу, состоящую из элементов G,
сопряжение которыми переводит подгруппу H в себя.
Упражнение 5. Докажите, что Z(H) и Norm(H) действительно являются подгруппами, причем Z(H) 
Norm(H). Докажите, что централизатор и нормализатор подгруппы Ли являются подгруппами Ли.
Теорема 3. Централизатор максимального тора связной компактной группы Ли совпадает с самим мак-
симальным тором.
Доказательство. Пусть T | максимальный тор. Ясно, что централизатор Z(T ) содержит T в качестве
связной компоненты. Пусть | элемент Z(T ), не принадлежащий T . Тогда, так как связных компонент
компактной группы | конечное число, найдется такое n, что n 2 T . Выберем такой z в касательном
пространстве к T , чтобы элемент n exp(z) был иррациональной образующей тора T . Тогда exp(z=n) не
принадлежит T , а замыкание подгруппы, порожденной этим элементам содержит n exp(z), а значит и T .
Следовательно, максимальный тор, содержащий exp(z=n), содержит T , но не совпадает с ним. А это
противоречит максимальности T .
Следствие 2. Центр компактной группы Ли вложен в любой максимальный тор.
Следствие 3. Пусть T | максимальный тор связной компактной группы. Тогда группа Norm(T )=T |
конечна.
Действительно, так как Z(T ) = T , Norm(T )=T = Norm(T )=Z(T )  Aut(T ). Но группа автоморфизмов
тора дискретна, поскольку она переводит рациональные обмотки в рациональные.
Задача 1. Докажите, что группа автоморфизмов тора T N равна SLN (Z).
Следствие 4. Пусть T | максимальный тор связной компактной группы. Тогда Lie(T ) | картановская
подалгебра.
Следствие 5. Всякая максимальная коммутативная подалгебра компактной алгебры Ли является ее кар-
тановской подалгеброй.
Упражнение 6. Приведите пример максимальной коммутативной подалгебры SLn , не являющейся кар-
тановской подалгеброй.
Пример 1. Диагональные матрицы из SUn образуют максимальный тор SUn .
Упражнение 7. Найдите максимальный тор SOn .