Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s01/notes/repr2.ps Дата изменения: Thu Jan 23 16:43:48 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 19:06:23 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: south pole

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ, 2 СЕМЕСТР
ЛЕКЦИЯ 2
Характеры представлений
Пусть G | компактная группа, % | ее конечномерное комплексное представление.
Определение 1. Характером представления % называется функция  % : G ! C , определенная по формуле
 % (g) = tr%(g).
Упражнение 1. Докажите, что  %1 %2 =  %1 +  %2 , 
%1
%2 =  %1
 %2 ,  %  =  % .
Пусть G | инвариантная мера, нормированная так, что объем группы R
G G равен единице.
Определим эрмитово скалярное произведение функций на группе формулой
hf 1 ; f 2 i =
Z
g2G
f 1 (g)f 2 (g) G :
(1)
Теорема 1. Пусть % 1 , % 2 | конечномерные представления. Тогда dimHomG (% 1 ; % 2 ) = h %1 ;  %2 i.
Доказательство. Докажем сначала частный случай в качестве леммы.
Определение 2. Пространство инвариантов V G представления V группы G | подпространство, состо-
ящее из векторов, неподвижных относительно действия всех элементов G.
Лемма 1. Пусть % | представление группы G в пространстве V . Тогда R
g2G  % (g) G = dimV G
Доказательство. Пусть I = R
g2G %(g) G | оператор на V . Докажем, что он является проектором на V G .
Заметим, что для h 2 G
%(h)I =
Z
g2G
%(h)%(g) G =
Z
g2G
%(hg)G = I;
значит, образ I лежит в V G . Так как I действует на V G тождественно, I является проектором на V G и след
I равен dimV G . Внося след под знак интеграла, получим утверждение леммы.
Упражнение 2. Пусть V 1
, V 2
| представления G. Тогда HomG (V 1 ; V 2
)  = (V 
1

V 2
) G .
А по лемме
dim (V 
1
V 2 ) G =
Z
G
 V 
1
V2 G = h V2 ;  V1 i :
Сопрягая действительную величину, получим утверждение теоремы.
Скомбинируем утверждение теоремы с леммой Шура (см. лекцию 2 прошлого семестра).
Следствие 1. Характеры неприводимых представлений ортонормированы относительно скалярного про-
изведения 1.
Следствие 2. Представления с одинаковым характером | изоморфны.
Упражнение 3. (см. лекцию 2 прошлого семестра) Пусть %, % 1 , % 2 | неизоморфные неприводимые
представления в пространствах V , V 1 , V 2 . Выберем ортонормированный базис относительно инвариант-
ного скалярного произведения и запишем действие группы матрицами. Тогда для матричных элементов
выполнено
D
% i 1 j1
1
; % i 2 j2
2
E
=
0;
% i 1 j1 ; % i 2 j2 
= ф i 1 i 2 ф j1 j2
dimV :
Это дает другое доказательство теоремы 1.
Задача 1. Вычислите характер присоединенного представления Un .
1

2МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ, 2 СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 2
Регулярное представление
Рассмотрим линейное пространство C[G] непрерывных функций на G c метрикой d(f; g) = max jf gj.
Действие группы на себе левыми и правыми сдвигами определяет представления CL [G] и CR [G] группы G
изометриями пространства C[G].
Упражнение 4. CL [G]  = CR [G].
Определение 3. Пространство C[G] с определенным выше действием называется регулярным представле-
нием.
В качестве альтернативы можно рассматривать гильбертово пространство L 2 (G; G ) функций с интегри-
руемым квадратом и (для групп Ли) пространство гладких функций.
Предложение 1. Пусть V | конечномерное представление. Тогда dimHomG (V; C[G]) = dimV .
Доказательство. Построим отображение HomG (V; C[G]) ! Hom(V; C )  = V  , сопоставляющее каждой
функции ее значение в единице. Нам надо доказать, что это отображение | изоморфизм.
Пусть f 2 HomG (V; C[G]), v 2 V . Обозначим f v 2 C[G] значение f на элементе v. Если f v (1) = 0 для всех
v 2 V , то f v (g) = f v (g
1) = f gv (1) = 0, значит, f = 0, и построенное отображение | вложение. С другой
стороны, для любого заданного f v (1) можно положить f v (g) = f gv (1) и, по определению представления
топологической группы, полученная функция будет непрерывной.
Теорема 2. (Петер, Г. Вейль) Конечномерные подпредставления плотны в C[G].
Доказательство этой теоремы не очень сложно, но использует теорию компактных операторов в гильбер-
товом пространстве.
Пример 1. Применение теоремы 2 к тору T 1  = S 1 приводит к разложению периодических функций в
ряды Фурье.
Упражнение 5. Докажите, что конечномерные подпредставления плотны в L 2 [G]. Докажите аналог
предложения 1 для L 2 [G].
Упражнение 6. Докажите, что линейные комбинации матричных элементов конечномерных представле-
ний плотны в C[G].
Задача 2. (см. лекцию 3 прошлого семестра) Докажите, что линейные комбинации характеров конеч-
номерных представлений плотны в подпространстве C c [G] центральных функций (функций, постоянных на
классах сопряженности).
Определение 4. Представление называется точным, если всякий элемент группы, отличный от единицы,
действует не тождественно.
Следствие 3. У всякой компактной группы Ли существует точное конечномерное представление.
Доказательство.
Докажем, что для любого элемента g группы существует окрестность U g (проколотая если g = e), дей-
ствующая точно в некотором конечномерном представлении V g .
В качестве V e можно взять любое точное представление алгебры Ли. Мы знаем, что алгебра Ли компакт-
ной группы редуктивна. Поэтому можем взять прямую сумму присоединенного представления ее полупро-
стой части и точного представления абелевой части диагональными матрицами.
В качестве V g можно взять любое представление, на котором элемент g действует не тождественно. Для
этого возьмем функцию на группе, такую что f(1) = 0 и f(g) = 1, и приблизив ее с точностью  < 1=2,
найдем требуемое представление.
Выбирем из окрестностей конечное подпокрытие U g1 ; : : : ; U gn . Тогда представление V g1 


 V gn будет
точным.
Упражнение 7. Докажите, что группа целых l{аддических чисел не имеет точного конечномерного
представления.
Определение 5. Однородным пространством топологической группы G называется топологическое про-
странство, на котором группа G действует (непрерывными преобразованиями) транзитивно.
Упражнение 8. Докажите, что стабилизаторы всех точек однородного пространства сопряжены.
Пример 2. Следующие пространства являются однородными пространствами группы On :
Сфера S n 1 , стабилизатор точки изоморфен On 1 .
Многообразие Грассмана Gr(k; n) k{мерных плоскостей в R n , стабилизатор точки изоморфен O k On k .
Многообразие полных флагов, стабилизатор точки изоморфен (f1g) n .

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ, 2 СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 23
Если X | однородное пространство группы G, то пространство непрерывных функций C[X] | предста-
вление G.
Теорема 3. (Фробениус) Пусть X | однородное пространство компактной группы G, H  G | ста-
билизатор некоторой точки X, V | конечномерное представление G. Тогда размерность пространства
сплетающих операторов HomG (V; C[X]) равна размерности пространства инвариантов V H .
Доказательство. Пусть x 2 X | точка, стабилизатор которой равен H. Построим отображение
HomG (V; C[G]) ! HomН (V; C )  = V Н , сопоставляющее каждой функции ее значение в точке x. Доказа-
тельство того, что это отображение | изоморфизм повторяет доказательство предложения 1.
Упражнение 9. Докажите, что конечномерные подпредставления плотны в C[X].