Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s01/notes/repr1.ps Дата изменения: Thu Jan 23 16:43:48 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 19:06:16 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: п п п п п п п п п

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ, 2 СЕМЕСТР
ЛЕКЦИЯ 1
Определение 1. Топологической группой называется группа с топологией, в которой умножение и взятие
обратного | непрерывные отображения.
Определение 2. Компактной группой называется топологическая группа, компактная как топологическое
пространство.
Пример 1. Конечные группы с дискретной топологией | компактны.
Пример 2. Торы T N = R N =Z N  = S 1 


 S 1 . Они являются компактными группами Ли с абелевыми
алгебрами Ли.
Пример 3. Компактна группа Ли On ортогональных преобразований n{мерного евклидова пространства,
а также ее связная компонента единицы SOn , состоящая из собственных преобразований (с определителем
единица).
Элементы On записываются в надлежащем базисе в виде ортогональных матриц (AA t = 1), элементы ее
алгебры Ли o n записываются в виде кососимметрических матриц (a + a t = 0). Эта алгебра Ли полупроста
и ее комплексификация (при n > 4) соответствует диаграмме D n
2
при четном n и Bn 1
2
при нечетном.
Пример 4. Компактна группа Ли Un унитарных преобразований n{мерного эрмитова простанства, а
также группа SUn унитарных преобразований с определителем 1.
Элементы Un записываются в надлежащем базисе в виде унитарных матриц (AA t
= 1), элементы ее
алгебры Ли un записываются в виде косоэрмитовых матриц (a + a t = 0). Чтобы получить алгебру Ли sun
следует добавить условие tr a = 0.
Алгебра Ли un | редуктивна, а алгебра Ли sun | полупроста, и ее комплексификация (при n > 1)
соответствует диаграмме An 1 .
Пример 5. Рассмотрим группу целых l{аддических чисел по сложению. Зададим топологию с помощью
метрики d(a; b) = l v(a b) , где v(x) | количество нулей на конце.
Задача 1. Докажите, что построенная топологическая группа | компактна.
Группа G действует на себе двумя способами | левыми сдвигами x ! g
x и правыми сдвигами x ! x
g 1 .
Для топологической группы оба этих действия непрерывны, для группы Ли | гладки.
Теорема 1. (Хаар) На всякой компактной группе существует мера, инвариантная относительно левых
и правых сдвигов.
Докажем эту теорему для компактных групп Ли. А именно, зададим такую меру инвариантной диффе-
ренциальной формой.
Лемма 1. На всякой связной компактной группе Ли существует дифференциальная форма старшей сте-
пени, инвариантная относительно левых и правых сдвигов, причем такая форма единственна с точностью
до умножения на константу.
Доказательство. Заметим, что дифференциальная форма, инвариантная относительно левых сдвигов,
задается своим значением в единице группы. Поэтому, такая дифференциальная форма старшей степени |
единственна с точностью до умножения на константу. Докажем, что она инвариантна относительно правых
сдвигов.
Для этого достаточно доказать, что действие группы на касательном пространстве к единице сопряже-
нием (так называемое присоединенное действие) сохраняет форму старшей степени, то есть имеет опреде-
литель единица.
Для этого заметим, что взятие определителя присоединенного действия является непрерывным отображе-
нием групп G ! R  . Образ G будет связной компактной подгруппой, а таковой в R  будет только единичная
подгруппа.
Задача 2. Что изменится, если отказаться от условия связности?
Нормируем полученную форму так, чтобы объем группы был равен единице и назовем ее G .
Лемма 1 является частным случаем более общего утверждения.
Факт. Пространство инвариантных форм степени k изоморфно пространству когомологий H k
DR (G; R).
1

2МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ, 2 СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 1
Упражнение 1. Докажите это для тора T N , сферы SU 2 .
Определение 3. Представлением топологической группы (группы Ли) в пространстве V называется
непрерывный (гладкий) гомоморфизм групп G ! GL(V ).
Пример 6. Присоединенное представление Ad : G ! GL(Lie(G)) | действие G сопряжением на каса-
тельном пространстве к G в единице.
Пример 7. Тавтологическое представление On в n{мерном вещественном пространстве, Un в n{мерном
комплексном пространстве.
Упражнение 2. Определите по аналогии с представлениями конечных групп (см. лекцию 1 предыдущего
семестра) подпредставление, факторпредставление, прямую сумму представлений, отображение представле-
ний (сплетающий оператор). Докажите, что ядро и образ сплетающего оператора | подпредставления.
Отдельно следует упомянуть тензорное произведение представлений. Пусть V 1 , V 2 | представление
группы G. Тогда элемент g 2 G действует на элементах V
1
V 2 по правилу
g(v
1
v 2 ) = (gv 1
)
(gv 2 ):
Если G | группа Ли, то элементы ее алгебры Ли, будучи производными однопараметрических подгрупп
G, действуют по правилу
a(v
1
v 2 ) = (av 1
)
v 2 + v
1
(av 2 ):
Определение 4. Вещественное предстставление группы G называется ортогонализуемым, если на нем
можно ввести G{инвариантное скалярное произведение.
Определение 5. Комплексное предстставление группы G называется унитаризуемым, если на нем можно
ввести G{инвариантное скалярное произведение.
Теорема 2. Конечномерные вещественные/комплексные представления компактных групп | ортогона-
лизуемы/унитаризуемы.
Доказательство. Пусть V | пространство представления. Возьмем на нем некоторую положительно
определенную форму ( ; ). Определим инвариантную форму ( ; ) inv усреднением по группе:
(v 1 ; v 2 ) inv =
Z
g2G
(%(g)v 1 ; %(g)v 2 )G :
В силу инвариантности меры относительно правых сдвигов, построенная форма действительно G{инва-
риантна. Будучи интегралом положительно определенной формы, она положительно определена.
Следствие 1. Всякое конечномерное вещественное/комплексное представление компактной группы |
вполне приводимо (прямая сумма неприводимых).
Следствие 2. Алгебра Ли компактной группы Ли, а также ее комплексификация | редуктивны.
Упражнение 3. Докажите, что алгебра Ли односвязной компактной группы Ли | полупроста.
Задача 3. Опишите конечномерные представления T N .