Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s01/notes/calc1_2.ps Дата изменения: Thu Jan 23 16:43:48 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 19:30:38 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: mdi

Высший Колледж Математики
Математический анализ, 1-й курс, 14 февраля
Пусть x 0 = (x 0
1 ;


; x 0
n ) 2 R n | точка n мерного пространства,  a(a 1 ;


; an )
| вектор, приложенный к точке x 0 , а f(x) | функция n переменных, диф-
ференцируемая в точке x 0 . Тогда
@f
@a
(x 0 ) =
n
X
i=1
a i
@f
@x i
(x 0 ):
Обозначим через B(x 0 ; r)  R n шар радиуса r с центром в точке x 0 .
Определение 1. Дифференцированием в точке x 0 2 R n называется ли-
нейное отображение D, сопоставляющее каждой дифференцируемой в точ-
ке x 0 функции f число D(f) так, что при этом для всех функций f; g
выполняется равенство (называемое тождеством Лейбница)
D(fg) = f(x 0 )D(g) + D(f)g(x 0 ):
1. Докажите, что для любого вектора  a(a 1 ;


; an ), приложенного к точ-
ке x 0 , @
@a
является дифференцированием в точке x 0 .
2. Доказать, что дифференцирование D на C 1 (B(x 0 ; r)) является диф-
ференцированием по направлению некоторого вектора  a, т. е. D(f) = @f
@a
(x 0 ).
Указание. (Лемма Адамара) Пусть f 2 C 1 (B(0; r)) и f(0) = 0. До-
казать, что существуют такие функции g i 2 C 1 (B(0; r)); i = 1; : : : ; n, что
f(x) =
P n
i=1 x i g i (x), причем g i (0) = @f
@x i
(0).
Множество всех векторов a, приложенных к точке x 0 , называется каса-
тельным пространством к R n в точке x 0 и обозначается T x 0 R n .
Дифференциалом df(x 0 ) функции f в точке x 0 называется линейная
функция на касательном пространстве df : T x 0R
n ! R, задаваемая фор-
мулой
df(x 0 )a =
n
X
i=1
a i
@f
@x i
(x 0 ):
3. Найдите значения дифференциалов dx 1 , dx 1 x 2 , d(x 2
1 +x 2
2 ) на касатель-
ных векторах, изображенных на рисунке.
fig 1
Пространство линейных функций на T x 0R
n называется кокасательным
пространством в точке x 0 и обозначается T 
x 0 R n .
4. Докажите, что дифференциалы координатных функций dx 1 ; : : : ; dxn
образуют базис в этом пространстве. Разложите по этому базису диффе-
ренциал произвольной функции. (Ответ: df = @f
@x1
dx 1 +


+ @f
@xn dxn ).
1

5. Пусть | линия уровня функции f(x; y), проходящая через точку
(x 0 ; y 0 ). Напишите уравнение касательной к в точке (x 0 ; y 0 ) с помощью
df .
Если в касательном пространстве T x 0R
n задано скалярное произведение,
то линейной форме df каноническим образом отвечает некоторый вектор
из T x 0R
n , называемый градиентом f и обозначаемый grad f :
grad f
a = df(a):
6. Как вектор gradf расположен относительно линии уровня ?
7. Пусть (t) | гладкая кривая на плоскости, причем (t 0 ) = (x 0 ; y 0 ), а
_
(t 0 ) = (a; b) | касательный вектор к (t) в точке t 0 ( _
(t 0 ) 2 T (x0 ;y0 ) R 2 ).
Пусть f(x; y) ЂЂ гладкая функция двух переменных. Доказать, что d
dt
f( (t))
   
t=t0
=
df(x 0 ; y 0 ) _
(t 0 )


.
8. Пусть f = f(r), где r =
p
x 2 + y 2 . Вычислить
df; y @f
@x
x @f
@y
;
 @ 2
@x 2 + @ 2
@x 2

f:
9. Доказать, что если дифференцируемая функция u = f(x; y) удовле-
творяет уравнению x @u
@x
+ y @u
@y
= nu, то она однородна порядка n (т.е.
f(tx; ty) = t n f(x; y)).
10. Докажите теорему. Если частные производные до второго порядка
функции f непрерывны, то ее смешанные частные производные совпада-
ют:
@ 2 f
@x@y
= @ 2 f
@y@x
:
11. Приведите пример функции двух переменных, для которой
@ 2 f
@x@y
6= @ 2 f
@y@x
:
2