Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s01/notes/calc1_1.ps Дата изменения: Thu Jan 23 16:43:48 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 19:30:32 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: m 63

Высший Колледж Математики
Математический анализ, 1-й курс, 7 февраля
1. Дайте определение непрерывной функции двух переменных.
2. Верно ли, что непрерывная по каждой переменной функция непре-
рывна?
3. Верно ли, что непрерывная по любому направлению функция непре-
рывна?
Частной производной по x (обозначение: @f
@x
) функции f(x; y) двух ар-
гументов называется обычная производная функции одного аргумента x,
получаемой фиксированием какого@-либо значения переменной y:
@f
@x
(x 0 ; y 0 ) = lim

x!0
f(x 0 +
x; y 0 ) f(x 0 ; y 0 )

x :
Производной функции f(x; y) по направлению вектора a(; ) 6= 0 (обо-
значение @f
@a
(x 0 ; y 0 )) называется производная функции одной переменной
'(t) = f(x 0 + t; y 0 + t) при t = 0.
4. Приведите пример разрывной в точке (x 0 ; y 0 ) функции f(x; y), у ко-
торой
а) существуют обе частные производные @f
@x
(x 0 ; y 0 ) и @f
@y
(x 0 ; y 0 );
б) существует производная по любому направлению @f
@a
(x 0 ; y 0 ).
5. Как производная по направлению зависит от выбора вектора напра-
вления a и ca, c 2 R?
Определение. Функция f(x; y) называется дифференцируемой в точ-
ке (x 0 ; y 0 ), если она в окрестности этой точки отличается от некоторой
линейной функции на члены малого порядка:
f(x; y) = f(x 0 ; y 0 ) +A(x x 0 ) +B(y y 0 ) +o(r); r =
p
(x x 0 ) 2 +(y y 0 ) 2 :
6. Докажите, что если f и g { дифференцируемые в точке (x 0 ; y 0 ) функ-
ции двух переменных, то функции f + g, fg, f ,  = const, также диффе-
ренцируемы в этой точке.
7. Докажите, что дифференцируемость влечет существование частных
производных и производных по любому направлению. Выразите константы
A и B и производную по направлению @f
@a
(x 0 ; y 0 ) через частные производные
функции f .
8. Пусть f(x; y) ЂЂ функция двух переменных, а g(t); '(t); (t){ функ-
ции одной переменной. Сформулируйте и докажите теорему о производной
сложной функции для следующих функций:
а) f('(t); (t));
б) g(f(x; y)).
9. Приведите пример разрывной в точке (x 0 ; y 0 ) функции, у которой су-
ществуют обе частные производные в некоторой окрестности точки (x 0 ; y 0 ).
1

Теорема(простой признак дифференцируемости). Если все частные
производные непрерывны в некоторой точке, то функция в этой точке
дифференцируема.
10. Докажите признак дифференцируемости.
11. Нарисуйте а) линии уровня z = const и б) графики следующих функ-
ций:
z =
p
x 2 + y 2 ; z = 3
p
x 2 + y 2 ; z = y 2 + x 2 x 4 ; (1)
z =
p
y 2 + x 2 x 4 ; z = 1
x 2 + y 2 ; z = x
x 2 + y 2 ; z = xy
x 2 + y 2 ; (2)
z = cos x y 2 ; z = cos x cos y; z = 3
p
x 2 + y 4 ; z = x 4 + x 2 y 2 + y 5 : (3)
2