Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f99/notes/jets.ps Дата изменения: Thu Jan 23 16:43:47 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 18:50:52 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: световой год

А. М. В е р б о в е ц к и й
Геометрия конечных джетов и дифференциальных уравнений:
дополнительные главы
(задачи)
З а д а ч а 1. Пусть E  J k (E; n) {{ уравнение, первое продолжение которого над не-
которой точкой a k 2 E не пусто. Докажите, что множество характеристических ковек-
торов уравнения E (1) в произвольной точке a k+1 2 E (1) ,  k+1;k (a k+1 ) = a k , совпадает с
множество характеристических ковекторов уравнения E в точке a k .
З а д а ч а 2. Пусть E {{ контактное (или симплектическое) многообразие, а I k (E) {{
многообразие k-джетов лежандровых (соотв., лагранжевых) подмногообразий в E. До-
кажите, что при k > 2 естественные проекции  k;k 1 : I k (E) ! I k 1 (E) являются аф-
финными расслоениями, опишите их и докажите, что поднятия контактных (соотв.,
симплектических) диффеоморфизмов суть аффинные автоморфизмы.
З а д а ч а 3. Пусть E = fF (x i ; u; u j ; u jk ) = 0g {{ скалярное уравнение второго порядка
с одной зависимой переменной u и n независимыми переменными x 1 ; : : : ; x n . Выпишите
для него в явном виде уравнение особенностей E [1] . Рассмотрите несколько примеров.
З а д а ч а 4. Рассмотрим регулярное скалярное уравнение E с двумя независимыми
переменными x 1 и x 2 и одной зависимой переменной u. Пусть ! 0 , ! 1 и ! 2 {{ стандартные
формы Картана, ! 0 = du u 1 dx 1 u 2 dx 2 , ! i = du i u 1i dx 1 u 2i dx 2 , i = 1; 2, ограни-
ченные на уравнение E . Зафиксируем некоторую форму объема V 2  7 (E ) и определим
на аннуляторе картановского распределения Ann(C (E ))   1 (E ) линейную над C 1 (E )
симметрическую форму h
;
i : Ann(C (E ))  Ann(C (E )) ! C 1 (E ) с помощью равенства
h; iV = d ^ d ^ ! 0 ^ ! 1 ^ ! 2 :
Докажите, что ранг этой формы равен 1 или 2, причем три возможные ситуации:
1) ранг = 1,
2) ранг = 2 и индекс = 0,
3) ранг = 2 и индекс = 1,
соответствуют трем возможным типам уравнения (в рассматриваемой точке):
1) параболическое,
2) эллиптическое,
3) гиперболическое.
В гиперболическом случае рассматриваемая форма имеет два двумерных изотропных
подпространства, которые определяют два 5-мерных распределения на E . Убедитесь,
что размерности их характеристических подраспределений 6 1. Докажите, что оба ха-
рактеристических подраспределения имеет размерность 1 в том, и только в том случае,
когда рассматриваемое уравнение является уравнением Монжа{Ампера.
З а д а ч а 5. Пусть a 2 J k (R 3 ; 2) {{ точка в пространстве k-джетов двумерных под-
многообразий в трехмерном пространстве. Рассмотрим многообразие Грассмана Gr k (a)
всех двумерных подпространств в картановской плоскости C (a)  T a (J k (R 3 ; 2)). Пусть
G k  Gr k (a) {{ замыкание множества R-плоскостей в точке a (R-грассманиан). Опишите
Экзамен: 5 задач
Математический колледж Независимого московского университета
1999/2000 учебный год
1

явным образом пространства G k для k = 1, 2 и 3. Какие плоскости отвечают особым
точкам пространства G 3 ?
З а д а ч а 6. Пусть f , g 2 C 1 (M) {{ такие функции на многообразии M , что f(x) =
g(x) = 0 и df j x
= dgj x
= 0 в некоторой точке x 2 M . Докажите, что если гессианы
функций f и g невырождены и совпадают в точке x, d 2 f j x
= d 2 gj x
, то существует такой
локальный диффеоморфизм ', что '  (f) = g в окрестности x.
З а д а ч а 7. Пусть на многообразии M имеются две контактные структуры, совпа-
дающие на касательном пространстве T (N) к некоторому подмногообразию N  M .
Докажите, что для каждой точки x 2 N существуют окрестности U 1 , U 2 3 x и диффео-
морфизм U 1 ! U 2 , который тождествен на U 1 \ N и переводит контактные структуры
друг в друга.
З а д а ч а 8. а) Пусть L  J 1 (M) {{ лежандрово подмногообразие. Докажите, что для
любой точки x 2 L существует окрестность U  L, U 3 x, проекция которой в T  (M)
является лагранжевым подмногообразием, причем каноническая форма  = p dq на нем
точна. Постройте пример, показывающий, что это утверждение неверно глобально.
б) Докажите, что для каждого связного лагранжева многообразия N  T  (M) най-
дется такое лежандрово многообразие ~
N  J 1 (M ), что проекция ~
N ! N является
накрытием.
З а д а ч а 9. Пусть E  J 1 (M) {{ инволютивное уравнение первого порядка с одной не-
известной, codimE = r, и ! 2  1 (E ) {{ ограничение контактной формы на E . Докажите,
что
! ^ d! ^ : : : ^ d!
| {z }
n r + 1 раз
= 0
Пусть x 2 E {{ такая точка на уравнении, что отображение
 ;x j Tx (E ) : T x (E ) ! T x (T  (M));
где  : J 1 (M) ! T  (M) {{ естественная проекция, является мономорфизмом. Вычислите
ранг формы d! x .
З а д а ч а 10. Пусть E  J 1 (M) {{ инволютивное регулярное уравнение первого по-
рядка с одной неизвестной, codimE = r. Докажите, что однозначное решение этого
уравнения, проходящее через некоторую точку x 2 E , существует тогда и только то-
гда, когда отображение
 ;x j C ?
x (E ) C ?
x
(E ) ! T (x) (M);
где  : J 1 (M) ! M {{ естественная проекция и C ?
x
(E ) {{ косоортогональное дополнение
к картановской плоскости C x (E )  C (x), является мономорфизмом.
З а д а ч а 11. Рассмотрим уравнение световых лучей (grad u) 2 =
P n
i=1
(@u=@x i ) 2 = 1 в
евклидовом пространстве R n . Опишите конусы Монжа этого уравнения. Докажите, что
значение функции u(x), удовлетворяющей данному уравнению, в любой точке R n равно
расстоянию от этой точки до поверхности u(x) = 0.
З а д а ч а 12. Покажите, что задача о движении на прямой трех точек, взаимодейству-
ющих между собой с силой, обратно пропорциональной кубу расстояния между ними,
разрешима в квадратурах.
2

З а д а ч а 13. Докажите, что система из двух уравнений второго порядка с двумя не-
зависимыми переменными и одной зависимой инволютивна (по Картану) тогда и только
тогда, когда характеристики распределения Картана на уравнении образуют одномер-
ное распределение.
З а д а ч а 14. Пусть F {{ распределение коразмерности r на некотором многообразии
и ! 1 , : : : , ! r {{ базис в AnnF . Рассмотрим наибольшее число l такое, что форма ! 1 ^! 2 ^
: : : ^ ! r ^ ( 1 d! 1 +  2 d! 2 + : : : +  r d! r ) l не обращается тождественно в нуль для каких-
то значений  1 , : : : ,  r . (Число l называется инвариантом Энгеля распределения F .)
Докажите, что существует такой базис ! 0
1 , : : : , ! 0
r
в AnnF , что для каждой формы ! 0
i
характеристическое распределение (ker ! 0
i
) 0 распределения гиперплоскостей ker ! 0
i
имеет
коразмерность 2l + 1.
З а д а ч а 15. Опишите алгебру внутренних симметрий уравнения Гильберта{Картана
v 0 = (u 00 ) 2 . (Это недоопределенное обыкновенное уравнение.)
З а д а ч а 16. Пусть a k 2 E , a k = [L] k
a
. Множество характеристических ковекторов в
этой точке является алгебраическим подмногообразием в T 
a
(L). Идеал этого многообра-
зия I называется характеристическим идеалом. Рассмотрим комплексные характери-
стические ковекторы, т. е. ненулевые элементы комплексифицированного пространства
C
T 
a
(L), являющееся нулями характеристического идеала. Докажите, что следующие
два условия эквивалентны:
1) уравнение не имеет комплексных характеристических ковекторов;
2) g (l) = 0 для достаточно большого l (в этом случае говорят, что уравнение имеет
конечный тип).
З а д а ч а 17. В каждой точке уравнения E рассмотрим характеристическое много-
образие V 
P(C
T 
a
(L)), т. е. подмногообразие проективного комплексного кока-
сательного пространства, определяемое характеристическим идеалом. Докажите, что
если система уравнений с одной зависимой переменной не является ординарной, то в
каждой точке уравнения (1) характеристическое многообразие содержится в некоторой
гиперплоскости H  V и (2) существует хотя бы один элемент характеристическо-
го идеала, нормальная производная (соответствующая H ) которого не принадлежит
характеристическому идеалу.
З а д а ч а 18. Пусть L  E, E  J k (E; n). Рассмотрим в кольце C 1 (T  (L)) идеал
состоящий из функций, принадлежащих в каждой точке a 2 L характеристическому
идеалу уравнения E . При каком условии этот идеал замкнут относительно скобки Пуас-
сона?
З а д а ч а 19. Пусть g {{ псевдориманова метрика на многообразии M . Рассмотрим
уравнение E  J 1 (M;M ), E = f [f ] 1
a
j f  (g) = g для некоторой функции  g. Найдите
необходимое и достаточное условие формальной интегрируемости уравнения E (1) .
3