Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f13/f13-elagin-ag1tasks_05.pdf Дата изменения: Tue Oct 8 19:08:58 2013 Дата индексирования: Sat Mar 1 21:53:50 2014 Кодировка: Windows-1251

Алгебраическая геометрия 1

Конечные поля

07.10.2013 Листок 5

Пусть k конечное поле характеристики p. Докажите, что k состоит из pn элементов для некоторого n N. n Задача 2. a) Пусть k конечное поле из p элементов. Докажите, что любой элемент x n поля k удовлетворяет уравнению xp - x = 0. Пусть K алгебраически замкнутое поле характеристики p. Обозначим через Fpn множеn ство решений уравнения xp - x = 0 в K . b) Докажите, что Fpn содержит ровно pn элементов. c) Докажите, что Fpn подполе в K . d ) Докажите, что Fpn не зависит от K и что любое поле из pn элементов изоморфно Fpn . Задача 3 . Докажите, что мультипликативная группа Fpn конечного поля циклическая. Задача 4. Пусть k = Fpn поле. a) Сколько существует в k корней степени m из 1? b) Сколько существует в k корней степени m из a k? c) , d) Те же вопросы для алгебраически замкнутого поля k характеристики p. n m Задача 5. a) Разделите с остатком x - 1 на x - 1 в Q[x]. m n b) Разделите с остатком xp - x на xp - x в Fp [x]. c) При каких n и m поле Fpn содержит Fpm ? d) Найдите Fpn Fpm . Задача 6 . Пусть f (x) неприводимый многочлен степени n над Fp , а K алгебраически замкнутое поле характеристики p. a) Докажите, что все корни f лежат в Fpn . b) Докажите, что f не имеет кратных корней. c) Обратно, если x Fpn , то x является корнем неприводимого многочлена над Fp степени d, где d|n. Задача 7 . a) Докажите равенство
Задача 1.

x

p

n

-x=
d|n deg f =d

f (x),

где произведение бер?тся по всем неприводимым над Fp многочленам со старшим коэффициентом 1. Пусть (n) число неприводимых над Fp многочленов степени n со старшим коэффициентом 1. b) Покажите, что pn = d|n d (d). c) Обращая предыдущее равенство, получите выражение для (n). d) Докажите, что для любого n существуют неприводимые многочлены степени n над Fp . Пусть k поле характеристики p. Обозначим через : k k отображение Фробениуса: x xp . Задача 8. a) Покажите, что является гомоморфизмом полей. b) Покажите, что для конечного или алгебраически замкнутого поля является автоморфизмом. c) Приведите пример поля, для которого гомоморфизм Фробениуса не обратим. k d) Докажите, что число сочетаний Cpn делится на p при 0 < k < pn . n Задача 9. Пусть k = Fpn поле из p элементов. a) Найдите порядок в группе автоморфизмов k. b) Докажите, что все автоморфизмы k имеют вид i .