Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f13/difgeom1-burman-Lect4.pdf Дата изменения: Mon Oct 7 01:03:56 2013 Дата индексирования: Sat Mar 1 21:51:45 2014 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п п

НЕЗАВИСИМЫЙ МОСКОВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ЛЕКЦИЯ 4

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ОСЕНЬ 2013 Г

Краткое содержание. Теорема о решении дифференциального уравнения.

Сечением векторного расслоения p : E B называется непрерывное ото бражение : B E , правое о братное к p: p = idB . Иными словами, сопоставляет каждой точке b B элемент слоя p-1 (b) E над нею. Гладкое сечение касательного расслоения T M M называется векторным полем на многоо бразии M . Если пользоваться \геометрической" моделью касательного расслоения, то векторное поле это задание (с точностью до эквивалентности) для каждой точки a M кривой a : R M , для которой a (0) = a . В \алге браической" модели для каждого a задан функционал `a : C (M ) R, удовлетворяющий условию Лейбница в точке a. Иными словами, ото бражение X : C (M ) C (M ), заданное формулой (X f )(a) def = `a (f ), линейно и удовлетворяет равенству X (f g) = f X (g) + gX (f ), то есть является дифференцированием алге бры C (M ). Пусть r > 0. Кривая : (-r; r) M называетяся интегральной кривой векторного поля X , если для любого (-r; r) кривая (t) def (t + ) представляет вектор X ( ( )). В координатах y в карте U a это = означает (проверьте!), что кривая удовлетворяет системе дифференциальных уравнений y( (t)) = X ( (t)) _ (точка здесь и в дальнейшем | производная по t). Лемма 1 (теорема существования и единственности решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений). Пусть X | векторное поле на гладком многообразии M . Тогда для произвольной точки a M существует окрестность U M , a U , и число " > 0 такое, что для любой точки b U существует интегральная кривая b : (-"; ") M , для которой b (0) = b. Кривая b зависит от b гладко и единственна с точностью до замены области определения: если 1 : (-"1 ; "1 ) M и 2 : (-"2 ; "2 ) M | интегральные кривые с 1 (0) = 2 (0) = a, и "1 < "2 , то 1 (t) = 2 (t) для всех t (-"1 ; "1 ). Доказательство. Поскольку утверждение локальное, достаточно разо брать случай M = Rn . Тогда (t) = ( 1 (t); : : : ; n (t)) | искомая интегральная кривая поля X (y) = (X1 (y1 ; : : : ; yn ); : : : ; Xn (y1 ; : : : ; yn )), если (0) = b и _ (t) = X ( (t)) для достаточно малых t. Эта пара условий (называемая задачей Коши) эквивалентна тому, что : (-"; ") Rn | непрерывная функция, удовлетворяющая соотношению (t) = a + 0t X ( (s)) ds (опять же, для достаточно малых t). Действительно, (0) = a очевидно. По теореме Ньютона{Лейбница правая часть соотношения имеет производную по t, равную X ( (t)) | следовательно, _ (t) = X ( (t)). Отсюда вытекает, что X ( (t)) непрерывно дифференцируема, а правая часть соотношения имеет вторую непрерывную производную. Продолжая по индукции, заключаем, что | гладкая кривая. Зафиксируем " > 0 и о бозначим F def C ([-"; "]) n | пространство наборов из n непрерывных функций = def n max на [-"; "], с нормой y = maxi=1 t[-";"] |yi (t)|. Рассмотрим оператор R : F F , заданный правой def t частью соотношения: R( )(t) = a + 0 X ( (s)) ds. Возьмем достаточно малое > 0, и пусть B Rn | шар радиуса с центром в точке a. Ото бражение X непрерывно на компакте B , поэтому ограничено: существует константа L > 0 такая, что |Xi (y)| < L при всех i и любом y B . Пусть теперь B F | шар (в норме F радиуса с центром в функции (t) a. Тогда для произвольной функции B
R() -
F



max max

t

i t[-";"]

Таким о бразом, если " < =L, то оператор R переводит шар B в се бя. Гладкое ото бражение X , определенное на компакте B , удовлетворяет т.наз. условию Липшица: существует константа K > 0 такая, что maxi |Xi (y1 ; : : : ; yn ) - Xi (z1 ; : : : ; zn )| < K maxi |yi - zi | для произвольных y; z B (достаточно взять K = n maxi;j maxyB | @ Xji (y)| и применить теорему Лагранжа о касательной и @y хорде | проделайте!). Тогда для произвольных 1 ; 2 B получим
R(1 ) - R(2 )
F

0

Xi ((s)) ds " max max |Xi ((t))| L":
i t[-";"]

= max max


t

K " max max |(1 )i (t) - (2 )i (t)| = K " i t[-";"]

i t[-";"]

0

X (1 (s)) - X (2 (s)) ds max max |X (1 (t)) - X (2 (t)|
i t[-";"] 1 - 2 F

Если " < 1=K , оператор R : B B | сжимающий. Поскольку пространство F полно, а шар B F замкнут (и, следовательно, тоже полон как метрическое пространство), оператор имеет единственную неподвижную точку. Гладкая зависимость от b очевидна.
1


Потоком (или гладкой однопараметрической группой диффеоморфизмов) на многоо бразии M называется гладкое ото бражение : R в M M , удовлетворяющее равенству (t1 + t2 ; a) = (t1 ; a) (t2 ; a) для всех a M , t1 ; t2 R. Отсюда вытекает, что (0; a) = a для всех a и (-t; (t; a)) = a для всех a и t | в частности, ото бражение (t; ·) : M M является при любом t диффеоморфизмом. Иными словами, t (t; ·) | гладкий гомоморфизм группы вещественных чисел по сложению в группу диффеоморфизмов многоо бразия M . Для произвольного потока символом _ о бозначается векторное поле на U такое, что вектор _ (a) Ta M для каждого a U представляется кривой (·; a) : R M . Поскольку | поток, тот же вектор представляется кривой t (;a) (t - ) для любого достаточно малого R. Теорема 1. Пусть X | векторное поле на компактном многообразии M . Тогда существует и единствен поток , для которого X = _ . Доказательство. Положим (t; a) = a (t), где a | интегральная кривая поля X , существование которой утверждается в лемме 1. Покажем, что тем самым определено ото бражение : R в M M , т.е. что интегральная кривая на компактном многоо бразии гло бально продолжаема. Для каждого a M о бозначим Ua M открытое множество, существование которого доказано в лемме 1: при b Ua интегральная кривая b определена на интервале (-"a ; "a ) при некотором "a > 0. Из покрытия M множествами Ua выберем конечное подпокрытие Ua1 ; : : : ; UaN , и пусть " def min("a1 ; : : : ; "aN ). Тогда при = любом b M интегральная кривая b определена на интервале (-"; "). Пусть теперь T | точная верхняя грань множества t > 0 таких, что кривая a определена на отрезке [-t; t]. Обозначим b1 = a (T - "=2), b2 = a (-T + "=2). Тогда кривые b1 и b2 определены на интервале (-"; "), откуда в силу единственности интегральная кривая a определена как минимум на интервале (-T - "=2; T + "=2), что противоречит выбору T . Следовательно, T = . Ото бражение | поток: если b = a (t1 ), то b (t) = a (t + t1 ) в силу единственности интегральной кривой; поэтому (t1 + t2 ; a) = a (t1 + t2 ) = (t1 ;a) (t2 ) = (t2 ; (t1 ; a)). С другой стороны, если | искомый поток (называемый интегральным), то для всякого a M кривая a (t) def (t; a) | интегральная, откуда вытекает = единственность потока. Пример 1. Если M некомпактно, то поток на всем M может не существовать; более того, может не существовать никакого " > 0, для которого интегральная кривая a определена на интервале (-"; ") при всех @ a. Действительно, пусть M = R, и X (t) = t2 @ t . Тогда интегральные кривые имеют вид a (t) = a=(1 - at) при a = 0 и 0 (t) = 0. Кривая a определена на интервале (-1=a; 1=a), который может быть сколь угодно коротким.