Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f13/belavin-parhomenko-Exercise6Sol.pdf Дата изменения: Thu Jan 23 17:21:29 2014 Дата индексирования: Sat Mar 1 22:06:59 2014 Кодировка: Windows-1251

Решения Упражнения идут по ходу главы 3 Пескина Шредера, каждое упражнение оценивается в 2.5 балла.
3.1 Лоренц инвариантность волновых уравнений.

Упражнения к Лекции 6. Поле Дирака

Исходя из формулы для генераторов вращения J ч = i(xч - x ч), показать, что для них выполняются следующие коммутационные соотношения алгебры Лоренца
1.
[J ч , J ] = i(g J
ч

- g ч J



- g J
ч

ч

+ g ч J ).

Решение:

Используем, что

ч x = ч

, откуда

ч x = g

, имеем

[J ч , J ] = -[(xч - x ч ), (x - x )] = -[xч , x ] + ... = = -g xч + g ч x + ... = ig (ixч + ...) + ig ч (... - ix ) + ... = = i(g J ч - g ч J - g J ч + g ч J ),

(0.1)

что и тербовалось показать.
3.2 Уравнение Дирака.

Показать, что генераторы алгебры Лоренца в представлении гамма-матриц: удовлетворяет коммутационным соотношениям алгебры Лоренца:
2.
[S ч , S ] = i(g S
ч

S

ч

i = 4 [ ч , ]

,

- g ч S
ч



- g S

ч

+ g ч S ).

Решение:

Используем, что
= = = = =

{ ч , } = 2g

, имеем

[S ч , S ] = -

1 1 ч [ , ] + ... = - ( ч - ч ) + ... = 16 16 1 ч - ( + ч - 2g ч ) + ... = 16 1 - ( ч - ч + 2g ч - 2g ч ) + ... = 16 1 - ( ч + ч - 2g ч + 2g ч - 2g ч ) + ... = 16 1 - (2g ч - 2g ч + 2g ч - 2g ч ) + ... = 16 i(g S ч - g ч S - g S ч + g ч S )

(0.2)
i 0

Покажите, что в киральном представлении гамма-матриц: генераторы алгебры Лоренца S ч , даются выражениями
3.
i i S 0 i = [ 0 , i ] = - 4 2 i 0 0 -
i

0 =

01 10 k 0 0 k

, i =

0 -

i

,

,

i 1 S ij = [ i , j ] = 4 2

ij k

1 ij k k . 2

1


Решение:

Имеем
i 4 0 i 01 10 - 0 - i 0 0 -
i i

i S 0 i = [ 0 , i ] = 4 i - i = 0 4

i 0

- i 2

0 -

i

i 0
i

01 10

=

=-

i 0 0 -

(0.3)
0 - i 0

И также находим
i S ij = [ i , j ] = 4 i - i = 0 4 1 k = ij k 0 2 i 4
j

0 - 0 - i
j

i

i 0 -

0 - - j 0

j

j 0 0 - j

-
i

0 -

j

j 0 i 4

i

= =

i

=-

[ i , j ] 0 i 0 [ , j ]

0 k

1 ij k k , 2
k

(0.4) и
(J
123

где мы использовали то, что 4. Покажите, что [ ч , S ] Решение: Имеем

[ i , j ] = 2iij k = (J
ч )

= 1.

, где



) = i( - ).

i i i [ ч , S ] = [ ч , [ , ]] = [ ч , - ] = ([ ч , ] - [ ч , ]) = 4 4 4 i ч ч ч ч = ( - - + ) = 4 i = (- ч + 2g ч - ч + ч - 2g ч + ч ) = 4 i = (-2g ч + 2g ч + 2g ч - 2g ч ) = i(g ч - g ч ) = 4 = i(g ч - g ч ) = (J )ч .

(0.5)

5.

Покажите, что верно равенство
i i i (1 + S ) ч (1 - S ) = (1 - J 2 2 2
ч )

.

Решение:

Имеем
ч )

i i i i (1 + S ) ч (1 - S ) = ч + [S , ч ] + O( 2 ) = (1 - J 2 2 2 2

+ O ( 2 ),

(0.6)

где мы использовали результат предыдущего упражнения. 6. Проверьте, что (S ij ) = S ij , (S 0i ) = -S 0i , (S ij ) 0 = 0 S ij , (S 0i ) 0 = - 0 S 0i . Решение: Используя результат упражнения 3, а также ( i ) = i , очевидно, что (S ij ) = S ij , (S 0i ) = -S 0i . Далее, используя, что ( 0 ) = 0 , можно получить остальные равенства. Также все можно было получить непостредственно из определения S ч и из того, что ( 0) = 0 и ( i) = - i . ? ? ? 7. Покажите, что есть лоренцевский скаляр, а ч лоренцевский вектор, где 0 . 2


Решение:

При преобразовании Лоренца
(x) 1 (x),
2

xч ч x



, спинор преобразуется как (0.7) (0.8) (0.9) (0.10)
LDirac =

где

i 1 = exp(- ч S ч ), 2 2

тогда имеем для

? i i ?1 ? = 0 exp( ч (S ч ) ) 0 = 0 exp( ч S ч ) = -1 , 2 2 2

где мы использовали результаты упражнения 6. Далее имеем
? ? ?1 - 1 1 =

и также
2

2

2

? ? ?1 ч -1 ч 1 = ч ,
2

где мы использовали результат упражнения 5. ? 8. Покажите, что уравнения Эйлера-Лагранжа для (или ) для лагранжиана ч ч ? (i ч - m) приводят к уравнению Дирака (i ч - m) (x) = 0. Решение: Получаем из L = 0: ?
(i ч ч - m) (x) = 0.

(0.11)

3.2 Вейлевские спиноры.

Проверьте, что для левого L и правого R вейлевских спиноров, при бесконечно мылых 1 вращениях (i = 2 ijk jk ) и бустах (i = 0i), преобразования имеют вид
9.
L (1 - i ћ R (1 - i ћ - ћ )L , 2 2 + ћ )R . 2 2

Решение:

Имеем
L R

i i L = (1 - ч S ч ) = (1 - i0i S 0i - ij S ij ) = R 2 2 1 0i i i 0 k 0 L = (1 - - ij ij k ) = i 0 -0i 0 k R 2 4 = (1 - i
i 2

+ ii 0

i 2

-

i i 2

0 + ii

i 2

)

L R

. (1 - i ћ
2 L 2

(0.12) . преобразуется подобно
+ ћ )R 2

В итоге получим преобразование 10. Докажите тождество 2 правому спинору.

L (1 - i ћ = -
2

и R , и покажите, что величина
2

- ћ )L , 2

3


Используя, что (1) = 1, (2) проверить, что 2 = -2. Далее получаем
Решение:
2 L 2 (1 + i ћ



= - 2 , ( 3 ) =

3

, а также

{ i , j } = 2

ij

, легко (0.13)

- ћ )L = (1 - i ћ + ћ ) 2 L . 2 2 2 2
+ ћ ) 2 L 2

В итоге видим, что
11.

2 L (1 - i ћ

2

, как и

R (1 - i ћ

2

+ ћ ) 2

R

.

3.3 Решения уравнения Дирака для свободных частиц.

Покажите, что
exp

exp

0 0

= =

- 3 /2 0 0 3 /2

ch sh , и sh ch ch(/2) - 3sh(
0 0 0

/2)

Решение:

Имеем
0 0
2n

0 ch(/2) +

3

sh(

/2)

.

=

2n 0 0 2n

2n+1

,

=

0
2n+1



2n+1

0

.

(0.14)
0
2n+1

В итоге получим
exp 0 0


=
k=0

1 k!

0 0 .

k



=
n=0

1 (2n)!

2n 0 0 2n



+
n=0

1 (2n + 1)!



2n+1

0

=

=

Также имеем
- 3 /2 0 0 3 /2
2n

ch sh sh ch
() 2 0
2n

(0.15)
, - 3 /2 0 0 3 /2
2n+1

=

0 2n (2)

=

-( ) 2

2n+1 3



0 (
2n+1 3 ) 2

0

.

И аналогично получаем
exp - 3 /2 0 0 3 /2 =

(0.16) (0.17)

ch(

/2) - 0

3

sh(

/2)

что и требовалось показать. 12. Докажите, что (p ћ )(p Решение: Имеем

ch(

0 /2) +

3

sh(

/2)

,

ћ ) = p2 = m2 ?

, где


= (1, )

и

= (1, - ) ?
ч

.

(p ћ )(p ћ ) = pч p ч = pч p ? ?

где мы использовали, что ч + ч = 2gч ? ? i j ij тывая, что { , } = 2 . 13*. Найдите собственные числа и общий вид матрицы Решение: Имеем
p ћ = gч pч = p0 0 - p =

1 ч ( + ч ) = pч p g ? ? 2

(0.18) , что легко проверить прямым вычислением и учи= p2 = m2 , pћ

.
2

p0 - p3 -p1 - ip

2

-p1 + ip p0 + p3

.

(0.19)

4


Находя собственные значения
p ћ = S S
-1

1,2 = p0 + |p|,

легко переписать данную матрицу в виде
p 0 - | p| 0 0 p0 + |p| -
1 2|p| 1 2|p| p3 -|p| 2|p|(p1 +ip2 ) 3 |p| - 2|pp(p++ip2 ) |1

=

-p3 - |p| -p3 + |p| -p1 - ip2 -p1 - ip2

.

(0.20)

Тогда для



pћ

получим
= -p3 - |p| -p3 + |p| -p1 - ip2 -p1 - ip2 - ip2 )
r ( p1 - 2|p| |p|s+rp3 2|p|

p ћ = S S

-1

p 0 - | p| 0 = gч pч ч = p ћ , ~ ~ p0 - |p|.

0 0 + |p| p

-

1 2|p| 1 2|p|

p3 -|p| 2|p|(p1 +ip2 ) 3 |p| - 2|pp(p++ip2 ) |1

=

=

-

|p|s-p3 r 2|p| r (p1 + 2|p|

ip2 )

s rp ), p=( , ~ 2 2 |p|

(0.21)

где

s=

p0 + |p| +

p0 - |p|,

a

r=

p0 + |p| - e-
ipx

14.

Проверить, что (x) = Решение: Мы должны проверить, что
u(p) = p ћ p ћ ? 0 i , i = - i 0

p ћ p ћ ?

есть решение уравнения Дирака. (0.22)

( ч pч - m)u(p) = (gч ч p - m)u(p) = ( 0 p0 - i pi - m)u(p) = 0,

где спинор
0 = 01 10

, a -матрицы взяты в киральном (Вейлевском) представлении: . Имеем

i

( ч pч - m)u(p) = = =

-m 00 p + pi (-m p ћ (-m p ћ (-m p ћ (-m p ћ

? ?

-m p0 0 - pi i u(p) = -m pћ ? + p ћ p ћ ) ? (-m p = + p ћ p ћ ) ? (-m p + p ћ m) = 0, + p ћ m) ?

pћ pћ ћ+ pћ p ћ+ pћ p ? ? pћ -m

ћ p ћ ) ? ћ p ћ ) ?

?

= =

(0.23) .
,

что и требовалось показать.
15.

Покажите, что Решение: Имеем

uu = 2m ?



, где

u(p) =

p ћ p ћ ? 01 10

,а

u(p) = u (p) ?

0

u(p) = u (p) 0 = ?







pћ



pћ ?

=





p ћ p ћ ?

(0.24) (0.25)

где мы использовали, что
u(p)u(p) = ?

( p ћ ) = p ћ


и

( p ћ ) = p ћ ? ? p ћ p ћ ? = 2


. Далее получаем

p ћ p ћ ?

p ћ p ћ = 2m , ?

что и требовалось показать. 5




r

Покажите, что s = rs , s, r = 1, 2. Решение: Имеем
16.
v (p)v (p) = ?
r s

v r (p)v s (p) = -2m rs , ?

v r (p)v s (p) = 2Ep

rs

, где

v s ( p) =

p ћ s ? - p ћ

s

и

- p ћ r p ћ ?
r

p ћ s - p ћ ?

s

= -2m r s = -2m rs .

(0.26)

Далее
v (p)v (p) =
r s

p ћ - r p ћ ?
r

p ћ s - p ћ ?

s

= r (p ћ + p ћ ) s = r (2p0 0 ) s = ?

= 2p0 r s = 2Ep rs ,

(0.27)
ur (p)v s (-p) = v r (-p)us (p) = 0

что и требовалось показать. 17. Проверьте, что ur (p)v ? Решение: Имеем
ur (p)v s (p) = ?
r

s

(p) = v r (p)us (p) = 0 ? p ћ s - p ћ ? p ћ p ћ ?

и
s

.

p ћ r p ћ ?

= r ( p ћ p ћ - p ћ p ћ ) s = ? ?

= r (m - m) s = 0, ? v r (p)us (p) = - r p ћ r p ћ ? = r (-m + m) s = 0.

s s

= r (- p ћ p ћ + p ћ p ћ ) s = ? ?

(0.28)
pћ ? p ћ s ? - p ћ = 0,

Далее имеем
u (p)v (-p) =
r s



r



pћ

r



s

(0.29)

для

v r (-p)us (p) = 0

проверяется аналогично.

Докажите формулу s s = 1 = 1 0 , где r s = rs и покажите, что us(p)us(p) = ? 01 s=1,2 s ћ p + m, a v s (p)v s (p) = ћ p - m ? s Решение: Так как s , s = 1, 2 образуют ортонормированный базис: r s = rs , то взяв произвольный вектор e = e1 1 + e2 2, имеем ( s s ) e = e 1 s s 1 + e2 s s 2 = e 1 s s1 + e2 s s2 = e1 1 + e2 2 = e, (0.30)
18.
s=1,2 s=1,2 s=1,2 s=1,2 s=1,2

откуда следует, что
u (p)u (p) = ?
s s s s

s
s=1,2

s

=1

. Далее получаем

s

v s (p)v s (p) = ?
s s

p ћ s p ћ s ? p ћ s - p ћ ?

p ћ s p ћ ?
s

=

m pћ pћ m ? =

= ћ p + m, = ћ p - m,

s

-

p ћ s p ћ ?

-m p ћ p ћ -m ?

(0.31)

6


что и требовалось показать.
3.4 Матрицы Дирака и билинейные формы Дирака.
i что 5 i 0 1 2 3 = - 4! ч ч , и 0123 = -0123 = 1. как ч = 2gч - , и gч симметричный тензор, и при свертке с нулю, то при свертке с ч можно считать, что ч - ч. Тогда ч Таким образом получаем

19. Проверьте, Решение: Так

ч он равен ч 0 1 2 3 .

i - 4!

ч

i ч = - 4!

ч



ч

0 1 2 3 = i 0 1 2 3 ,

(0.32)

где мы воспользовались тем, что ч ч = -4!. 1 20. Проверьте, что ч = iч 5 , где ч = [ч ] = 3! ( ч - ч - ч + ч + ч - ч ). Решение: Очевидно, что если два каких-либо индекса совпадают, то ч = 0. Рассмотрим случай, когда все индексы ч, , разные. Тогда гамма-матрицы антикоммутируют между собой, откуда ч = ч . Далее пусть есть индекс, который не равен индексам ч, , (например ч = 2, = 3, = 0, тогда = 1), тогда мы можем записать, используя, что = 1 (здесь нет суммирования по индексу ) ч = ч = - ч = iч (i 0 1 3 4 ) = iч 5 , (0.33) где мы использовали, что ч = ч 0 1 3 4, так как все индексы разные. 21. Проверьте, что ( 5 ) = 5 , ( 5 )2 = 1, { 5 , ч } = 0. Решение: Используя, что ( 0 ) = 0 , a ( i ) = - i , i = 1, 2, 3, имеем: ( 5 ) = (i 0 1 2 3 ) = -i( 3 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 0 ) = i 3 2 1 0 = i 0 1 2 3 = 5 . (0.34) Также ( 5 )2 = i 0 1 2 3 i 0 1 2 3 = 1 2 3 1 2 3 = - 2 3 2 3 = - 3 3 = 1. (0.35) И в итоге { 5 , ч } = i 0 1 2 3 ч + i ч 0 1 2 3 = -i ч 0 1 2 3 + i ч 0 1 2 3 = 0, (0.36) так как при переносе ч через произведение 0 1 2 3, она антикоммутирует с тремя гамма-матрицами и коммутирует с собой, откуда и появляется знак минус. ? ? ? 22. Покажите, что ч j ч = 0, ч j ч5 = 2im 5 , где j ч (x) = (x) ч (x), j ч5 (x) = (x) ч 5 (x), учитывая уравнения движения. Решение: Уравнения движения есть
(i ч ч - m) = 0, ? ? (i(ч ) ч + m ) = 0,

(0.37) (0.38)

далее получаем
? ? ? ? ? ч j ч = ч ( (x) ч (x)) = (ч (x)) ч (x) + (x) ч ч (x) = im (x) (x) - m (x) (x) = 0,

7


аналогично имеем
ч j
ч5

? ? ? ? ? ? = ч ( ч 5 ) = (ч ) ч 5 + ч 5 ч = im 5 + im 5 = 2im 5 ,

(0.39)

что и требовалось показать. 23. Покажите, что j ч (x) и j ч5 (x) являются нетеровскими токами, соответствующими преобразованиям (x) ei(x) и (x) ei (x). ? Решение: Имеем L = (i ч ч - m) и (1 + i) , откуда = i , и получим
5

jч = -

L ? = ч, (ч )

(0.40) (0.41)

далее

(1 + i 5 )

, откуда

= i 5 j
ч5

и получим
L ? = ч 5, (ч )

=-

что и требовалось показать. 24. Используя тождество Фирца

( ч ) (ч ) = 2



, покажите, что

(u1R ч u2R )(u3R ч u4R ) = -(u1R ч u4R )(u3R ч u2R ). ? ? ? ?

Решение:

Используем, что

(u1L ч u2L )(u3L ч u4L ) = 16(u1L ч u2L )(u3L ч u4L ). ?? ? ?? ? ?? ?? ( ч ) (ч ) = 2


= -2




= -( ч ) (ч )
4R



, откуда


(u1R ч u2R )(u3R ч u4R ) = u1R u2R u3R u4R ( ч ) (ч ) ? ? ? ? ч = -(u1R u4R )(u3R ч u2R ). ? ?

= -u1R u2R u3R u ? ?

( ч ) (ч )

=

(0.42) (0.43)

Далее имеем
(u1L ч u2L )(u3L ч u4L ) = 2 ?? ? ?? ? ?? u1L u3L ( u2L ) ( u4L ) . ? ?

Теперь рассмотрим отдельно


( u2L ) ( u4L ) = ? ?



( ) ( ) u2L ( u4L ) = - ? ?




( ) ( ) u ?

2L

( u4L ) = ? ( u4L ) = ?

= -( ) ?

( ) u ?

2L

( u4L ) = -( ) ( ) ? ?
u2L

u2L

= - u2L ( ) ( ) ( u4L ) = ? ? 2 = (4) u2L u4L ,

( u4L ) = ? ?

(0.44)

где мы использовали, что



( ч ) = ( ч ) ?



и

ч ч = ч ч = 4. ? ?

Теперь получаем

(u1L ч u2L )(u3L ч u4L ) = ?? ? ?? ? = = =

2 u1L u3L ( u2L ) ( u4L ) = ?? ? ? 2 2 ћ (4) u1L u3L u2L u4L = ?? 16u1L u3L u2L u4L ( ч ) (ч ) = ?? ? ? ч 16(u1L u2L )(u3L ч u4L ), ?? ??

(0.45)

что и требовалось показать. 8


3.5 Квантование Дираковского поля.

Покажите, что плотность Дираковского гамильтониана дается выражением + m) . Решение: Для канонического момента p имеем
25.
p= L ? = i 0 = i 0 0 = i . 0

? H = (-i ћ

(0.46)
+ m) ,

Далее для Гамильтоновой плотности получаем
? ? ? H = p0 - L = i 0 0 - (i 0 0 + i i i - m) = (-i ћ

(0.47)

что и требовалось показать. 26. Покажите, что для данного "неправильного"дираковского поля
(x) = d3 p (2 )
3

1 eipx 2Ep

as us (p) + bs p v s (-p) p -
s=1,2 4Ч4

выполняются соотношения [ ношения [ar , as] = [br , bs] = pq pq Решение: Имеем
[ (x), (y)] = = d3 pd3 q (2 )6
3

(x), (y)] = (3) (x - y) Ч 1 (2 )3 (3) (p - q ) rs .
(pћx-q ћy )

. Используйте коммутационные соотr -p

1 ei 2Ep 2Eq
ipћ(x-y )

Ч
r,s

[ar , as ]ur (p)us (q ) + [b ? pq

, bsq ]v r (-p)v s (-q ) 0 = ? -

dp 1 e (2 )3 2Ep

( 0 Ep - ћ p + m) + ( 0 Ep + ћ p - m) 0 =

= (3) (x - y ) Ч 1

4Ч4

,

(0.48)

что и требовалось показать. 27. Покажите, что для волновой функции из пункта 26, гамильтониан дается выражением
H= d3 p (2 )3 Ep as as - Ep bs bs . pp pp
s

Решение:

Имеем
H= ? d3 x (-i ћ + m) ,

(0.49)

где
(x) = ? (y ) = (y) 0 = d3 p (2 )3 dq (2 )3
3

1 eipx 2Ep

as us (p) + bs p v s (-p) , p -
s=1,2

1 e-iqy 2Eq

ar ur (q) + brq v r (-q) . -? q?
r=1,2

(0.50)

9


Далее получаем
H= = ? d3 x (-i ћ d3 pd3 q (2 )6 + m) =
2

1 (2 )3 (p - q ) 2Ep 2Eq
2

ar ur (q) + brq v r (-q) ( ћ p + m) as us (p) + bs p v s (-p) = -? q? p -
r,s=1

=

d3 p 1 (2 )3 2Ep

ar ur (p) + brp v r (-p) ( ћ p + m) as us (p) + bs p v s (-p) , -? - p p?
r,s=1

(0.51)

далее используем из уравнений движения, что - 0 Ep v s (-p) получим
H= d3 p 1 (2 )3 2
2 r,s=1

( ћ p + m)us (p) = 0 Ep us (p)

и

( ћ p + m)v s (-p) =

ar ur (p) + brp v r (-p) - p

as us (p) - bs p v s (-p) , p -

(0.52)

теперь используем, что
H=

ur (p)v s (-p) = v r (-p)us (p) = 0 d3 p 1 (2 )3 2
2

и получим (0.53)

ar as ur (p)us (p) - brp bs p v r (-p)v s (-p) , -- pp
r,s=1 rs

далее используя, что

ur (p)us (p) = v r (p)v s (p) = 2Ep H= d3 p (2 )3

, в итоге находим (0.54) поля Клейна-Гордона,
, ,

Ep as as - Ep bs bs , pp pp
s

что и требовалось показать. ? 28. Покажите, что [a (x), b (y )] = (i x + m)ab [(x), (y )], где ? а a и b поля из пункта 26 в Гейзенберговском представлении. Решение: Имеем
(x) = ? (x) = d3 p (2 ) d3 p (2 )
3

(x), (y )

1 2E 1 2E

as us (p)e- p
p s=1,2

ipћx

+ bs v s (p)e p

ipћx

3

as us (p)eipћx + bs v s (p)e p? p?
p s=1,2

-ipћx

(0.55)

тогда получим
? [a (x), b (y )] = = d3 p 1 (2 )3 2Ep
3

us (p)us (p)e- ?b a
s=1,2

ipћ(x-y )

s ?s + va (p)vb (p)eip

ћ(x-y )

=

dp 1 ( p + m)ab e-ipћ(x-y) + ( p - m)ab eipћ(x (2 )3 2Ep d3 p 1 = (i x + m)ab (e-ipћ(x-y) - eipћ(x-y) ) = (2 )3 2Ep = (i x + m)ab [(x), (y )],

-y )

=

(0.56)

10


что и требовалось показать. 29. Покажите, что для "правильно"квантованного Дираковского поля
(x) = d3 p (2 )3 d3 p (2 )3 1 2Ep 1 2Ep d3 p (2 ) as us (p)e- p
s ipћx

+ bs v s (p)eip p + as us (p)eip p?

ћx

;

? (x) =

bs v s (p)e- p?
s

ipћx

ћx

,

гамильтониан дается выражением
H=

3 s

Ep as as + Ep bs bs , pp pp
rs

где операторы антикоммутируют как Решение: Имеем далее получаем
H= = ? d3 x (-i ћ d3 pd3 q (2 )6 + m) = 1 (2 )3 (p - q ) 2Ep 2Eq
2

{ar , as } = {br , bs } = (2 )3 (3) (p - q ) pq pq ? d3 x (-i ћ

. (0.57)

H=

+ m) ,

2

ar ur (q) + br q v r (-q) ( ћ p + m) as us (p) + bsp v s (-p) = - q? -? p
r,s=1

=

d3 p 1 (2 )3 2Ep

ar ur (p) + br p v r (-p) ( ћ p + m) as us (p) + bsp v s (-p) , - p? -? p
r,s=1

(0.58)

далее используем из уравнений движения, что - 0 Ep v s (-p) получим
H= d3 p 1 (2 )3 2
2 r,s=1

( ћ p + m)us (p) = 0 Ep us (p)

и

( ћ p + m)v s (-p) =

ar ur (p) + br p v r (-p) p -

as us (p) - bsp v s (-p) , - p

(0.59)

теперь используем, что
H=

ur (p)v s (-p) = v r (-p)us (p) = 0 d3 p 1 (2 )3 2
2

и получим (0.60)

ar as ur (p)us (p) - br p bsp v r (-p)v s (-p) , -- pp
r,s=1 rs

далее используя, что
H= d3 p (2 )3
s

ur (p)us (p) = v r (p)v s (p) = 2Ep d3 p (2 )3

, в итоге находим бесконечная константа), (0.61)

Ep as as - Ep bs bs = pp pp

Ep as as + Ep bs bs + ( pp pp
s

что и требовалось показать. 11


Покажите, что унитарный оператор U (), преобразует as по правилу p E s a p . E Решение: Имеем для одночастичного состояния |p, s = 2Ep as |0 : p
30.
p p

U ()as U p

-1

() =

откуда получаем учитывая, что
U ()|p, s = U ()|0 = |0

U ()|p, s = |p, s = 2Ep U ()as |0 = p 2Ep U ()as U p
-1

2Ep asp |0 ,
-1

(0.62) (0.63) (0.64)

, получаем, что
p p

()U ()|0 = 2Ep asp ,

2Ep asp |0 ,

2Ep U ()as U p

() =

откуда находим U ()asU -1() = EE asp. p i i 31. Рассматривая маленький поворот вокруг оси z , покажите, что 1 - 2 ч S ч = 1 - 2 3 . Решение: При повороте вокруг оси z , 12 = -21 = , остальные компоненты ч равны нулю. Также S ij = 1 ijk k , следовательно 2
1 2

что и требовалось показать. 1 32*. Оператор углового момента для поля Дирака равен J = d3 x (-ix Ч + 2 ) . Упро1i i стите отдельно выражение для спиновой i компоненты Jspin = d3x( 2 ) оператора угловоi 3 го момента и затем для орбитальной Jorbit = d x (-i(x Ч )i) . Покажите, что оператор J = Jorbit + Jspin уничтожает вакуум, то есть J |0 = 0. Покажите, что J as |0 = r s ar |0 . 0 0 2 r Решение: Используем, что
(x) = (x) =


i 1 1 - ч S 2 2

ч

i = 1 - (12 S 2

12

i1 1 i + 21 S 21 ) = 1 - ( 3 - (- 3 )) = 1 - 3 , 22 2 2

(0.65)

d3 p eipx (2 )3 2Ep d3 p e-ipx (2 )3 2Ep
s s

as us (p) + b p
s=1,2

s s -p v

(-p) , (-p) ,

as us (p) + b p
s=1,2

s s -p v

(0.66)

а также, что


u ( p) =

s

p ћ p ћ ?

и

v (p) =

s

p ћ p ћ = m, ? s=
0

и

pћ = p - |p|, a r
0

где

p + |p| +

|p|s-p3 r 2|p| - 2|rp| (p1 + ip2 ) = p0 + |p| -

p ћ s , и ur(p)vs(-p) = vr(-p)us(p) = 0, и - p ћ s ? - 2|rp| (p1 - ip2 ) sr = gч pч ч = p ћ , p = ( 2 , 2 |p| ), ~ ~ ~ |p|s+rp3 p
2|p|

p - | p|

0

(отметим, что

s, r

скаляры, а не векторы!).

Спиновая часть:
Jspin = =
i 3

Для спиновой части имеем
3

d pd3 q e-ix(q-p) dx (2 )6 2Ep 2Eq d3 x d3 pd3 q e-ix(q-p) (2 )6 2Ep 2Eq

aq u (q) + b
s s r,s=1,2

s s -q v

i r r (-q) ap u (p) + brp v r (-p) = - 2
r -p

us (q )
r,s=1,2

i r i u (p)as ar + us (q ) v r (-p)as b qp q 2 2 i r u (p)b 2
s r - q ap

+ .

+ v s (-q )

+ v s (-q )

i r v (-p)b 2

r s -q b-p

(0.67)

12


Далее используя, что
i Jspin =

d3 xe

-ix(q -p)

= (2 )3 (q - p), us (q )

получим
r -p

d3 pd3 q (3) (p - q ) (2 )3 2Ep 2Eq

r,s=1,2

i r i u (p)as ar + us (q ) v r (-p)as b qp q 2 2 i r u (p)b 2
s r - q ap

+
r -p

+ v s (-q ) = d3 p 1 (2 )3 2Ep us (p)
r,s=1,2

+ v s (-q )

i r v (-p)bs q b - 2
r -p

=

i r i u (p)as ar + us (p) v r (-p)as b pp p 2 2 i r u (p)b 2
s r -p ap

+
r s -p b-p

+ v s (-p)

+ v s (-p)

i r v (-p)b 2

.
123

(0.68)
= 1):

Теперь вычисляем (используем, что
1 i r v (-p) = 2 2 1 = 2 1 = 2 1 = 2 i 1 v s (-p) ur (p) = 2 2 1 = 2 us (p)


i j = ij + iij k pћ ?

k

и

i 0 0 i s ( p ћ i p ћ - p ћ i p ћ ) r = ? ?
s



pћ

s

[ i , j ] = 2iij k k p ћ r ? = - p ћ r

и

sr = 2|p|,

s rћp i s (( 0 - ) ( 2 2 |p| sr i s (2 [ , p]) r = 4|p| s p ћ - s p ћ ?

s 0 rћp s rћp i s 0 rћp r + ) - ( 0 + ) ( - )) = 2 2 |p| 2 2 |p| 2 2 |p| 1 s (2i ij k k pj ) r = i s (p Ч )i r , 2 p ћ r i 0 = p ћ r ? 0 i ? ? (0.69) s ( p ћ i p ћ - p ћ i p ћ ) r = -i s (p Ч )i r .

Далее имеем
i r 1 u (p) = 2 2 1 = 2 1 = 2 1 = 2 i 1 v s (-p) v r (-p) = 2 2 1 = 2 us (p)


p ћ i 0 p ћ ? 0 i s ( p ћ i p ћ + p ћ i p ћ ) r = ? ?
s



pћ

s



r r

pћ ?

=

s rћp i s 0 s (( 0 - ) ( - 2 2 |p| 2 2 2 s r s ( i + p i p) r 2 2|p|2 s p ћ - s p ћ ?

rћp s rћp i s 0 rћ ) + ( 0 + ) ( + 2 |p| 2 2 |p| 2 2 |p p = s (m i + (Ep - m) 2 pi ) r , |p| i 0 p ћ r ? = i 0 - p ћ r p s ( p ћ i p ћ + p ћ i p ћ ) r = s (m i + (Ep - m) 2 pi ) ? ? |p| s2 = 2(Ep + m)

pr )) = |

r

,

(0.70)

где мы использовали, что

и

r2 = 2(Ep - m),

а также
lk m m j k

p i p = j i k pj pk = ( j i + ij il l ) k pj pk = pi p + ij il l k pj pk = = pi p + ij il ( lk + i = p i p - ( j k
im lk m m

)pj pk = pi p + ij il pj pl - j il

pp =

-

j m ik

) m pj pk = 2pi p - |p|2 i .

(0.71)

13


В итоге получаем
i Jspin =

d3 p 1 (2 )3 2Ep

s (m i + (Ep - m)
r,s=1,2

- i s (p Ч )i r b

s -p

p i r s r p ) ap ap + i s (p Ч )i r as brp - p- |p|2 p ar + s (m i + (Ep - m) 2 pi ) r bs p brp . p -- |p|

(0.72)

Орбитальная часть:
i Jorbit =

Для орбитальной компоненты имеем
)i ) (x) = as us (q ) + bs q v s (-q ) (-iij k x q -
s,r=1,2 ) s,r=1,2 j

d3 x (x)(-i(x Ч d3 x d3 q d3 p (2 )6

= =

e-ixq 2Ep 2Eq

)e xk

ipx

ar ur (p) + b p

r r -p v

(-p) =

d3 q d3 p 3 ij k xj eix(p-q dx (2 )6 2Ep 2Eq d3 q d3 p -i(2 ) (2 )6 2Ep 2E dq (2 )3
3 3 ij k
(3)

as us (q ) + b q

s s -q v

(-q ) pk ar ur (p) + b p

r r -p v

(-p) =

= =i

(p-q ) pj s,r=1,2

as us (q ) + b q
s s -q v

s s -q v

(-q ) pk ar ur (p) + b p
k

r r -p v

(-p) =

q

1 2Eq

as us (q ) + b q
s,r=1,2

(-q )

ij k

q qj

1 2E

ar ur (q ) + brq v r (-q ) , - q
q

далее мы используем, что ijk q qk = ijk jk = 0 и также ijk qk q где f произвольная функция. Отсюда в частности следует, что Eq = m2 + |q |2 . В итоге мы получаем (заменяя q на p)
j j

f (|q |) = ij k q k |qq| ij k q k j 1 = q
2Eq

j

(0.73) f (|q |) = 0, 0, так как (0.74) ,

i Jorbit = -i

d3 p 1 (2 )3 2Ep

as us (p) + b p
s,r=1,2

s s -p v

(-p) ij k p
rs

j

ar ur (p) + b pk p

r r -p v

(-p) ,

далее используя, что получаем
i Jorbit = - i 3

us (p)ur (p) = v s (-p)v r (-p) = 2Ep as p +b pk bsp - )- pk

,и

us (p)v r (-p) = v s (-p)ur (p) = 0

d3 p (2 )3

ij k (as p p
s=1,2

j

s j -p p

-i

dp 1 (2 )3 2E


p s,r=1,2

ij k

us (p)p

j

u r ( p) s r v r (-p) s ap ap + us (p)pj ap b pk pk ur (p) b pk
s r - p ap

r -p

+ .

+ v s (-p)p

j

+ v s (-p)p

j

v r (-p) b pk p0 - |p|,

r s -p b-p

(0.75)
p0 + |p| -

Используя, что ijk p0 - |p|, получим
ij k p
j

p

j p

k

s = ij k p

r j pk 2|p|

= 0,

где

s=

p0 + |p| +

a

r=

s r ll r ij k j k r p ћ = ij k pj k ( 0 - p)=- p =- (p Ч )i , k p p 2 2|p| 2|p| 2|p| r r ij k j k ? ij k pj k p ћ = p = (p Ч )i , p 2|p| 2|p|

(0.76)

14


откуда находим
us (p)ij k p v r (-p) = s ( p ћ ij k k p sr ij k j = s ( p 2|p| ur (p) v s (-p)ij k pj ? = s ( p ћ ij k k p sr ij k = - s ( 2|p|
j

p

j

p ћ - p ћ ij k pj k p ћ ) r = ? ? k p p

k ) r = s (ij k pj k ) r = s (p Ч )i r , p
j

p ћ - p ћ ij k pj k p ћ ) r = ? k p p

pj k ) r = - s (ij k pj k ) r = - s (p Ч )i r .

(0.77)

Далее находим
s

где мы использовали, что В итоге получаем
Jorbit = - i +
i

ur (p) u (p) p = s ( p ћ ij k pj k k p p 2 r = s ( ( p)(p Ч 2|p|2 v r (-p) = s ( p ћ ij k pj k ? v s (-p)ij k pj k p p 2 r = s ( ( p)(p Ч 2|p|2
ij k j



pћ+

p ћ ij k pj k p ћ ) r = ? ? p p i r p ) , |p|2

)i ) r = i s ((Ep - m) i - (Ep - m) pћ+ ? p ћ ij k pj k p ћ ) r = p

)i ) r = i s ((Ep - m) i - (Ep - m)

r2 = 2(Ep - m),
im j l

а также
lk m m

p i r p ) , |p|2

(0.78) (0.79)

( p)(p Ч )i = ij k l k pl pj = ij k ( lk + i = i( - as p +b pk
il j m mlj

)pl pj = iij k
2i i

mlk m l j

pp =

) p p = i(|p| - p p). bsp - )+ pk

d3 p (2 )3

(a
s=1,2

ij k

s j pp

s j -p p

d3 p 1 (2 )3 2Ep

s ((Ep - m) i - (Ep - m)
s,r=1,2

+ i s (p Ч )i r b

s -p

p i r s r p ) ap ap - i s (p Ч )i r as brp + p- |p|2 p ar + s ((Ep - m) i - (Ep - m) 2 pi ) r bs p brp . p -- |p|

В итоге находи для J i:
J = Jspin + Jorbit = - i +
i i i

(0.80)

d3 p (2 )3 d3 p (2 )3

(a
s=1,2

ij k

s j pp

as p +b pk

s j -p p

bsp - )+ pk
r s -p b-p


s,r=1,2

s

i r s r i ap ap + s r b 2 2

.

(0.81)

Антикоммутируя b p -p, получаем
J =-i
i

r s -p b-p

и выкидывая бесконечные константы, а также заменяя в данных членах
(a
ij k s j pp

d3 p (2 )3

s=1,2

as bs p p s j + bp p )+ k p pk

d3 p (2 )

3 s,r=1,2



s

i r s r i ap ap - s r b r b s . pp 2 2

(0.82)

15


Это выражение можно переписать как
J= d3 p (2 )3 as s ( p
s,r=1,2

rr rs - i rs p Ч ) ap - br s ( + i rs p Ч ) bp . p 2 p 2 p

(0.83)

Далее, очевидно, что J |0 = 0. Теперь, так как J |0 = 0, имеем J as|0 = [J , as]|0 . Вычисляя 0 0 r коммутатор [ar ar , as] = (2)3(3)(p)a0 rs, мы видим, что должны взять все в точке p = 0, откуда p p0 s r находим, что J a0 |0 = r r s a0 |0 . 2 ab 33. Покажите, что запаздывающая функция Грина для уравнения Дирака есть SR (x - y ) = (i x + m)ab DR (x - y ), где DR (x - y ) запаздывающая функция Грина для уравнения Клейна-Гордона. Решение: С одной стороны мы имеем ab ? (0.84) SR (x - y ) (x0 - y 0 )) 0|{a (x), b (y )}|0 , c другой стороны можно вычислить
? 0|a (x)b (y )|0 = ? 0|b (y )a (x)|0 = d3 p 1 (2 )3 2Ep d3 p 1 (2 )3 2Ep ?b us (p)us (p)e- a
s=1,2 s va (p)vb (p)e ?s s=1,2 -ipћ(y -x) ipћ(x-y )

= (i x + m)ab = -(i x + m)ab

d3 p 1 - e (2 )3 2Ep

ipћ(x-y )

, ,

d3 p 1 - e (2 )3 2Ep

ipћ(y -x)

откуда
? 0|{a (x), b (y )}|0 = (i x + m)ab d3 p 1 (e- (2 )3 2Ep
ipћ(x-y )

(0.85)

-e

-ipћ(y -x)

) = (i x + m)ab 0|[(x), (y )]|0 .

(0.86) (0.87)

В итоге получаем
ab ? SR (x - y ) (x0 - y 0 )) 0|{a (x), b (y )}|0 = (i x + m)ab (x0 - y 0 )) 0|[(x), (y )]|0 = = (i x + m)ab DR (x - y ),

что и требовалось показать. 34. Покажите, что = 2 . Решение: Имеем
1 = ч ч = ч ч = ( ч + ч )ч = g ч ч = 2 , 2

(0.88)

что и требовалось показать.
3.6 Дискретные симметрии в теории Дирака. 35.

Проверьте, что все величины:

? ? ? ? ? , ч , i [ ч , ] , ч 5 , i 5

являются эрмитовыми.

16


{ , } = 0, {

5

Решение:
ч

Используя то, что ( ч , } = 2g ч имеем:

0

) =

0

,

( 5 ) =

5

,a

( i ) = - i , i = 1, 2, 3,

а также, что

? ? ( ) = ( 0 ) = ( 0 ) = 0 = , ? ? ( ч ) = ( 0 ч ) = ( ч ) ( 0 ) = 0 ч = ч , ? ? (i [ ч , ] ) = (i 0 [ ч , ] ) = -i (( ) ( ч ) - ( ч ) ( ) ) 0 = i [ ч , ] , ? ? ( ч 5 ) = ( 5 ) ( ч ) 0 = 5 0 ч = ч 5 , ? ? (i 5 ) = -i ( 5 ) ( 0 ) = -i 5 0 = i 5 ,

(0.89)

что и требовалось проверить. 36. Покажите, что
0 ч 0 =

+ ч , - ч ,

ч = 0, ч = 1, 2, 3. { 0 , i } = 0, i = 1, 2, 3,

Решение:

Используя то, что

( 0 )2 = 1,

а также

получаем (0.90)

0 0 0 = 0,

0 i 0 = - i 0 0 = - i ,

что и требовалось показать. 37. Проверьте, что
? T чT =

Решение:

Используя, что

T (c-

число ,

? + ч (-t, x), ? - ч (-t, x),

ч=0 ч = 1, 2, 3. T (t, x)T = 1 3 (-t, x),

) = (c -

число)T , и также и

получим

? ? T ч T = T T ( ч ) T T = (-t, x)[ 1 3 ] ( )0 ( ч ) 1 3 (-t, x) = ? = (-t, x)(- 1 3 )( ч ) 1 3 (-t, x).

Теперь используя, что
T T T T ? ? ? ?

( 0 ) =
0 1 2 3

0

( 1 ) =

1

,

( 3 ) =

3

( 2 ) = - )= )= x) )=

2

,

{ ч , } = 2g x), t, x), -t, x), t, x),

ч

(0.91) , получим



T T T T

= = = =

? (-t, ? (-t, ? - (- ? (-t,

x)(- 1 3 ) 0 1 3 (- x)(- 1 3 ) 1 1 3 (- t, x)(- 1 3 ) 2 1 3 ( x)(- 1 3 ) 3 1 3 (-

t, x t, x -t, t, x

? 0 (-t, ? - 1 (- ? = - 2 ( ? - 3 (-

(0.92)

что и требовалось проверить. 38. Найдите чему равно преобразование зарядового сопряжения для биллинейных форм:
? ? ? ? ? C C, C ч C, C i [ ч , ] C, C ч 5 C, C i 5 C.

Решение:

Используя, что

? C (x)C = -i( 0 2 )

T

, и также

? C C = (-i 0 2 )

T

имеем:

02 ? ? ?0202 ? ? ?02 C C = (-i 0 2 )T (-i 0 2 )T = -ab bc c d de ea = d de ea ab bc c = - 2 0 0 2 = , ? ? ? C i 5 C = i(-i 0 2 )T 5 (-i 0 2 )T = i 5 , (0.93)

аналогично можно проверить для остальных выражений. 17