Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f13/calc13-t1-2.pdf Дата изменения: Sun Sep 29 00:24:31 2013 Дата индексирования: Fri Feb 28 20:07:15 2014 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: vallis

Независимый Московский Университет

Математический анализ 1-й курс, листок 2 13 сентября 2013 года

-окрестностью точки a называется множество точек U (a) = {x|a- < x < a + }. Точка a называется пределом последовательности {an } (обозначение: a = lim an ), если для любого > 0 все члены последовательности, начиная с некоторого, находятся в -окрестности точки a.
Определение

1. Сформулируйте, что означает, что число a не является пределом последовательности 1 {an }. Докажите, что 1 не является пределом последовательности n . 2. Докажите, что у последовательности не может быть больше одного предела. Последовательность an называется фундаментальной , если для любого > 0 существует такой номер N , что для всех n, m > N |an - am | < .
Определение.

3. Докажите, что всякая последовательность, имеющая предел, фундаментальна. 4. Приведите пример фундаментальной последовательности на множестве рациональных чисел, не имеющей предела.
Аксиома полноты в множестве действительных чисел.

1) 2) 3) 4)

Любая последовательность вложенных отрезков имеет общую точку Любая фундаментальная последовательность имеет предел

.

. . .

Любая монотонно возрастающая ограниченная последовательность имеет предел Любое ограниченное сверху множество имеет точную верхнюю грань

5. Докажите, что эти формулировки аксиомы полноты эквивалентны между собой. 6. Докажите, что ваша любимая модель действительных чисел удовлетворяет аксиоме полноты. называется точка, в любой -окрестности которой имеются элементы этого множества. Предельной точкой последовательности называется точка в любой -окрестности которой содержится бесконечное число ее членов.
Определение. Предельной точкой множества

7. Докажите, что предел соходящейся последовательности является единственной ее предельной точкой. 8. Докажите, что у любой последовательности точек отрезка [0, 1] имеется предельная точка. 9. Найдите предельные точки множеств а)
(2+(-1)n ) n

; б) {

1 m

1 + n | m, n N}; в) {sin n}.


10. Выясните, какие из следующих последовательностей имеют пределы, и (для пунктов а-ж) найдите эти пределы. а) (n + 1)100 /(n100 + 1); б) n100 /2n ; в) a1/n ; г) n!/nn ; д) е)
2n +3n +4n 5n +6n ; 1 n +1( n+2- n)
n

ж) з) 1 и) 1 к) 1

1 + 1 + ћ ћ ћ + 1; 1 + 212 + 312 + ћ ћ ћ + n2 ; 1 + 1 + 1 + ћ ћ ћ + n; 2 3 1 1 1 - 2 + 3 - ћ ћ ћ + n.



;