Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f12/analiz1-listok1.pdf Дата изменения: Mon Sep 17 15:52:01 2012 Дата индексирования: Mon Feb 4 18:10:32 2013 Кодировка: Windows-1251

НМУ, Математический анализ (1-й семестр).

Листок 1.

7 сентября 2012 г.

Действительные числа. Пределы последовательностей.

{an |n N}, (б) {an /n!|n N}, a R? Аксиома полноты. Если L и R непустые множества действительных чисел такие, что для любых элементов l L и r R выполнено l r, то существует такое действительное число c, что l c r для любых элементов l L, r R.
1. Ограничены ли следующие множества (а) 2. Докажите принцип вложенных отрезков: если дана бесконечная последовательность вложенных отрезков

[a0 , b0 ] [a1 , b1 ] . . . [an , bn ] . . . ,
то найдется действительное число, принадлежащее всем этим отрезкам. 3. Верен ли аналогичный ?принцип вложенных интервалов?? 4. Дайте определение



2,

докажите его существование и иррациональность.

5. (а) Дано множество отрезков на прямой, причем любые два из них имеют общую точку. Верно ли, что существует точка, принадлежащая всем отрезкам? (б) Верно ли аналогичное утверждение для прямоугольников на плоскости, стороны которых параллельны осям координат? (Прямоугольники рассматриваются вместе с внутренностью.) (в) Верно ли это для произвольных прямоугольников на плоскости?

Предел. Про числовую последовательность {an } говорят, что она сходится, если существует такое число A, что для любого > 0 найдется такой номер N , что при всех n > N выполнено |A - an | < . Число A называется пределом последовательности и обозначается
A = lim an .
n

6. Докажите, что любая последовательность имеет не более одного предела, и, если он существует, то любая ее подпоследовательность имеет тот же предел.

limn an = a, limn bn = b. Докажите, (а) limn (an + bn ) = a + b; (б) limn (an bn ) = ab; a a (в) limn b n = b , если b = 0. n 8. Найдите такое n N, n > 1, что 2n > n100 . 9. Найдите предел limn n n. n 10. Докажите, что limn n! = .
11. Найдите предел последовательности

7. Пусть

что

an =

1 1 1 + + ... + . 1ћ2 2ћ3 n(n + 1)

12. Сходятся ли последовательности (а) (б)

an = 1 + an = 1 +

13. Существует ли предел последовательности 14. а) Докажите, что, если 15. Докажите, что

1 2 +. 1 + 22

1 . . + n; 1 . . . + n2

?

lim

n

an = a,
при

то

an = sin n? limn a1 +... n

+an

=a

.

(б) Покажите, что обратное неверно.

(1 + )

n

1 + n

16. (а) Докажите, что последовательность (б) Докажите, что последовательность обозначают

n N, > -1 (неравенство Я. Бернулли). 1 n+1 yn = 1 + n монотонно убывает. n 1 yn = 1 + n сходится. Предел этой последовательности
n

e = lim

1+

1 n

n

.