Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f11/zykin-Problems_5.pdf Дата изменения: Mon Dec 5 18:29:00 2011 Дата индексирования: Mon Feb 4 18:51:03 2013 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 63

Дополнительные главы теории чисел

Листок 5

Эллиптические кривые над конечным полем
Задача 1 (эллиптические кривые над маленькими полями).

a ) Опишите все неизоморфные эллиптические кривые над полем F2 .
Подсказка: чтобы показать, что кривые не изоморфны, можно посмотреть на j -инвариант и посчитать количество точек на них.

b) Какие из полученных в предыдущем пункте кривых становятся изоморфными над F4 ? Над F16 ? А над F256 ? c) Посчитайте группы автоморфизмов кривых из предыдущего пункта над полями F2k , k N. d) Опишите все различные (т. е. неизоморфные) кривые над F4 . Какие у них j -инварианты? Какие из них становятся изоморфными над F16 ? e) Ответьте на аналогичные вопросы про кривые над F3 и F5 . Опишите группы точек получившихся кривых. Задача 2 . Пусть E /Fq эллиптическая кривая, для n 1 положим an = q n +1-#E (Fqn ), а также a0 = 2. Докажите, что an+2 = a1 an+1 - q an для всех n 0. Задача 3 . Докажите, что для эллиптической кривой E : y 2 = x3 + x над полем Fp имеет место #E (Fp ) 0 mod 4 для всех p > 2. Задача 4. Пусть E /Fq эллиптическая кривая и пусть m 1 такое целое число, что q - 1 и m взаимно просты. Пусть, далее, P E (Fq ) точка в точности порядка m и d такое целое число, что q d 1 mod m. Докажите, что E [m] E (Fqd ).
Подсказка: заметьте, что

ч

m

отображения Фробениуса на базис

Fqd и используйте спаривание Вейля для изучения действия E [m].

a) Докажите, что найдутся такие натуральные числа n и m, (m, q ) = 1, что E (Fq ) = Z/mZ Ч Z/nmZ. b) Покажите, что q 1 mod m. c) Пусть p 5 и E суперсингулярна. Проверьте, что либо m = 1, либо m = 2 и, если p 1 mod 4, то m = 1. Задача 6 (суперсингулярные эллиптические кривые). Пусть E /Fq эллиптическая кривая, : E - E эндоморфизм Фробениуса возведения в степень q , p = char Fq . a) Докажите, что E суперсингулярна тогда и только тогда, когда tr() 0 mod p (след вычисляется в End(Tl (E )) для любого простого l = p). b) Предположим, что q = p 5 простое. Докажите, что E суперсингулярна тогда и только тогда, когда #E (Fp ) = p + 1. c) Выпишите все эллиптические кривые E над F2 и F3 и убедитесь, что утверждение пункта (b) не верно при p = 2, 3. d) Пусть опять q = p 5 простое, а n 1 целое число. Докажите, что

Задача 5. Пусть E /Fq эллиптическая кривая.

#E (Fp ) =
n

pn + 1 , если n неч?тно, (pn/2 - (-1)n/2 )2 , если n ч?тно.

e) Пусть pi наибольшая степень p такая, что p2i | q . Докажите, что tr() 0 mod p тогда и только тогда, когда tr() 0 mod pi . f ) Докажите, что не существует таких эллиптических кривых E /F8 , что #E (F8 ) = 7 или #E (F8 ) = 11.
Подсказка: воспользуйтесь предыдущим пунктом.

1


Дополнительные главы теории чисел

Листок 5

g) Пусть E /K эллиптическая кривая над полем характеристики 2. Докажите, что E суперсингулярна тогда и только тогда, когда j (E ) = 0. Задача 7. Пусть E /Q эллиптическая кривая. Зафиксируем уравнение Вейерштрасса для E с коэффициентами в Z. Докажите, что существует бесконечно много простых p Z, для которых редуцированная кривая E /Fp не суперсингулярна.
Подсказка: Зафиксируйте простое падаются в поле

l и рассмотрите те простые p, которые полностью расQ(E [l]), полученном присоединением к Q координат всех точек l-кручения E .
p
2

Далее воспользуйтесь предыдущей задачей.

Задача 8. Пусть E /F

суперсингулярная эллиптическая кривая. a) Докажите, что отображение умножения на p может быть записано как

[p](x, y ) = g (xp , y p ), h(xp , y p )
с рациональными функциями g , h Fp2 (X, Y ). b) Докажите, что g и h полиномы, т.е. g , h Fp2 [X, Y ]. c) Предположим, что p 3 и возьм?м уравнение Вейерштрасса для E с a1 = a3 = 0. Докажите, что g = X и h = +Y . d) Предположим, что p 5 и что E определена над Fp . Докажите, что h = -Y . Пусть : E - E отображение Фробениуса возведения в степень p на E . Докажите, что ^ 2 = [-p] и = -. Задача 9 (масс-формулы). a) Покажите, что над конечным полем существует в точности две неизоморфных эллиптических кривых с заданным j -инвариантом = 0, 1728.
Подсказка: можно для простоты считать, что характеристика поля

2

2

2

2

= 2, 3.

b) Пусть p = 2, 3, q = p Докажите, что
r

1 E /Fq #Aut(E )

= q.
FЧ на Eq = F2 \ {(a, b) | a3 - 27b2 = q q

Подсказка: посмотрите на множество орбит при действии

0}, определ?нном формулой (a, b) (u4 a, u6 b).

c) Посчитайте число классов изоморфизма эллиптических кривых над Fq при p = 2, 3. d) Докажите формулу ЭйхлераДойринга:

суперсингулярные

? E /Fp

1 p-1 = . #Aut(E ) 24

что End(E ) = Z.
Подсказка:

Задача 10 . Пусть char K = p > 0 и E /K эллиптическая кривая с j (E ) Fp . Докажите, /
достаточно показать (кстати, почему?), что

E nd(E ) не является порядком в

мнимом квадратичном поле.

2