Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f11/alg3tasks_02.pdf Дата изменения: Mon Sep 26 22:21:46 2011 Дата индексирования: Mon Feb 4 15:13:47 2013 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п п

Алге бра 3

Коники и квадрики

23.09.2011 Листок 2

Поле k в этом листке { алге браически замкнутое характеристики ноль, если не сказано другое. Коникой называется кривая степени 2 в P2 , т.е. множество нулей однородного многочлена степени 2. Задача 1. Докажите, что коника является двойной прямой, парой прямых либо неосо бой кривой. Задача 2. Пусть P C { точка на конике, а L P2 { произвольная прямая, не содержащая P . a) Покажите, что проекция из P : C - L { изоморфизм. b) Пусть C и L задаются уравнениями -x2 + x2 + x2 = 0 и x0 = 0 соответственно, а 2 1 0 P = (1 : 1 : 0). Запишите о братное к ото бражение в координатах. Задача 3. a ) Покажите, что неособая коника над Q либо пуста, либо изоморфна P1 . Q b) Пользуясь задачей 2b, покажите, что все рациональные точки на окружности x2 +y2 = 1 имеют вид p2 - q2 2pq ; ; p2 + q2 p2 + q2 где p; q Z. c) Решите в целых числах уравнение x2 + y2 = z 2 . d) Решите в целых числах уравнение x2 + 3y2 = z 2 . Полярное соответствие. Пусть V { 3-мерное векторное пространство, Q { невырожденная симметричная билинейная форма, а q { соответствующая квадратичная форма на V . Всякой точке P P(V ) сопоставим прямую P в в P(V ), состоящую из тех точек S , для которых Q(lP ; lS ) = 0 (где lP и lS { прямые в V ). Прямая P в называется полярой точки P , а P { полярой P в . Задача 4. a) Покажите, что всякая прямая является полярой единственной точки. b) Покажите, что поляра точки строится так. Пусть P S1 и P S2 { касательные к конике C , задаваемой уравнением q = 0, причём S1 ; S2 С . Тогда S1 S2 { поляра P . c) Что есть поляра точки, лежащей на C ? d) Как (геометрически) строится поляра прямой? Квадрикой называется поверхность степени 2 в P3 , т.е. множество нулей однородного многочлена степени 2. Рангом квадрики называется ранг соответствующей квадратичной формы. Задача 5. Покажите, что квадрика является двойной плоскостью (ранг 1), парой плоскостей (ранг 2), проективизацией конуса над коникой в A3 (ранг 3) или неосо бой поверхностью (ранг 4). При этом квадрика определяется своим рангом с точностью до изоморфизма. Квадрика ранга 4 называется неосо бой квадрикой.


Алге бра 3 Рассмотрим ото бражение : Pr-1 в Ps

-1

Prs-1

, заданное формулой

23.09.2011 Листок 2

((x0 : x1 : : : : : xr ); (y0 : y1 : : : : : ys )) (x0 y0 : x0 y1 : : : : : x0 ys : x1 y0 : x1 y1 : : : :): Оно называется вложением Сегре. Задача 6. a) Покажите, что образ { алге браическое подмножество, его идеал порожден многочленами zij zkl - zil zkj . b) Покажите, что задаёт изоморфизм Pr-1 в Ps-1 с о бразом . c ) Найдите степень о браза . Задача 7. a ) Покажите, что неособая квадрика изоморфна P1 в P1 . b) Покажите, что неосо бая квадрика неизоморфна P2 . Задача 8. a) Покажите, что на неосо бой квадрике есть два семейства прямых в P3 , причём прямые из разных семейств пересекаются, а из одного { нет. b) Покажите, что других прямых на квадрике нет. c ) Опишите пересечение неосо бой квадрики с касательной плоскостью к ней в неосо бой точке. d ) Покажите, что прямая на квадрике не может быть задана одним дополнительным полиномиальным уравнением. Задача 9 . Пусть P { точка на неосо бой квадрике Q, а Q { строгий проо браз Q при раздутии точки P . Докажите, что проекция из точки P задаёт регулярное ото бражение Q P2 , которое является раздутием двух точек на P2 . Задача 10. Пусть Q { квадрика ранга 3. a) Опишите все прямые на Q. b) Покажите, что прямая на Q может быть задана одним дополнительным уравнением. c ) Пусть Q0 A3 { аффинный конус над коникой. Покажите, что идеал прямой на Q0 не может быть порождён одним многочленом. Задача 11 . Пусть P { осо бая точка на квадрике Q ранга 3, а Q { строгий проо браз Q при раздутии точки P . a) Докажите, что проо браз P на Q { это коника в P2 . b) Покажите, что проекция из точки P задаёт регулярное ото бражение Q P2 , о браз которого { коника, а слои которого { проективные прямые. c) Изоморфны ли Q и P2 ? Q и P1 в P1 ?