Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f10/topology1-Sem4.ps Дата изменения: Mon Sep 27 21:00:32 2010 Дата индексирования: Sun Feb 13 13:28:46 2011 Кодировка: koi8-r

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ ТОПОЛОГИЯ, ОСЕНЬ 2010 Г.
4. НАКРЫТИЯ И ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА.
Задача 1. Докажите, что категория накрытий над S 1 изоморфна следующей категории: объекты ее |
целые числа; если l|k, то существует единственный морфизм k # l, а если l
# |k, то морфизмов k # l не
существует.
Графом называется результат склеивания конечного или бесконечного множества отрезков по какому-
либо отождествлению их концов. Склеенные отрезки называются ребрами графа, а точки, в которые скле-
ились концы, | вершинами. Количество концов ребер, склеенных в данную вершину, называется валентно-
стью вершины.
Задача 2. а) Пусть граф локально конечен, т.е. валентность каждой его вершины конечна. Докажите, что
подмножество X # компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и лежит в объединении конечного
множества ребер. б) Докажите, что граф a , изображенный на рис. 1a (бесконечное дерево), односвязен.
в) Постройте накрытие p a : a # S 1
#S 1 над букетом из двух окружностей. Докажите, используя результат
задачи 2б, что  1 (S 1
# S 1 ) | свободная группа F 2 с двумя образующими.
Задача 3. а) Постройте накрытия p b : b # S 1
# S 1 и p c : c # S 1
# S 1 , где графы b и c изображены
на рис. 1b и 1c соответственно. б) Вычислите подгруппу (p b ) # ( 1 ( b )) # F 2 . Нормальна ли эта подгруппа?
Опишите  1 ( b ) как группу. в) Те же вопросы про граф c .
Задача 4. Пусть p : E # B | накрытие, причем пространства B и E линейно связны и локально односвяз-
ны, и пусть b # B | отмеченная точка. Докажите, что подгруппа p # ( 1 (E)) #  1 (B) не является нормальной
тогда и только тогда, когда существует петля в B с началом в точке b, которая является одновременно обра-
зом петли и образом незамкнутого пути в E. Укажите такую петлю для накрытия букета двух окружностей
графом, изображенным на рис. 1c.
Задача 5. а) Топологическое пространство является связным n-листным накрытием букета из k окруж-
ностей. Докажите, что гомеоморфно конечному графу, и найдите число вершин и ребер этого графа.
б) Докажите, что любой связный конечный граф гомотопически эквивалентен букету окружностей. Как
связано число окружностей в букете с числом вершин и ребер графа? в) Используя результаты задач 5а и
5б, докажите, что если группа G является подгруппой свободной группы F k с k образующими, и индекс
|F k : G| = n конечен, то G изоморфна свободной группе F p . Выразите число p через n и k. Продумайте
возможность чисто алгебраического доказательства этого утверждения.
Задача 6. а) Постройте двулистное накрытие p : C # M ленты Мебиуса M цилиндром C = S 1
в [0; 1].
Опишите прообраз p -1 (U ), где U | окрестность средней линии ленты Мебиуса. б) Докажите, что  1 (M) =
 1 (C) = Z, и опишите отображение фундаментальных групп p # :  1 (C) #  1 (M ).
Задача 7. а) Постройте двулистное накрытие p : S 2
# RP 2 и вычислите группу  1 (RP 2 ). б) Докажите, что
если представить RP 2 как круг, противоположные точки границы которого склеены, то окрестность U гра-
ничной окружности этого круга гомеоморфна ленте Мебиуса. в) Докажите, что p -1 (U) # S 2 гомеоморфно
цилиндру, а ограничение p на него изоморфно накрытию, описанному в задаче 6.
c
b
a
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
.
.
.
.
. . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
.
Рис. 1. Накрытия над букетом двух окружностей
1

Задача 8. а) Постройте двулистное накрытие p : T 2
# K, где K | бутылка Клейна. б) Докажите, что  1 (K)
порождена двумя образующими a и b, связанными единственным соотношением abab -1 = 1. в) Опишите
подгруппу (индекса 2) p # ( 1 (T 2 )) #  1 (K).
Монодромией накрытия p : E # B называется отображение M группы  1 (B; b) (b # B | отмеченная
точка) в группу взаимно однозначных отображений слоя F в себя, заданное следующим образом: пусть
x #  1 (B; b) представлен петлей : [0; 1] # B. Тогда для каждого y # p -1 (b) = F рассмотрим поднятие :
[0; 1] # E петли такое, что (0) = y ( существует и единственно по теореме о накрывающей гомотопии).
Тогда положим по определению M( )(y) = (1).
Задача 9. а) Докажите, что M( ) действительно взаимно однозначное отображение слоя p -1 (b) в себя.
Докажите также, что оно не зависит от выбора петли , представляющей класс x. б) Вычислите монодромию
накрытий, описанных в задачах 6, 7 и 8. в) Вычислите монодромию накрытий, построенных в задаче 3.
Обозначим s 2 : C 2
# C проекцию на второй сомножитель: s 2 (z; w) def
= w. Рассмотрим многочлен P : C # C,
и пусть P = {(z; P (z)) | z # C} # C 2 | его график. Число c # C называется регулярным значением P , если
P # (z) #= 0 для всех z таких, что P (z) = c.
Задача 10. а) Докажите, что если U # C | множество регулярных значений P , то ограничение отобра-
жения s 2 на прообраз V def
= s -1 2 (U) # P | накрытие V # U , число листов которого равно степени P .
б) Вычислите монодромию этого накрытия в случае P (z) = z n . в) Тот же вопрос для P (z) = z 5
- 5z - 1.