Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f10/algebra1-lect7new.ps Дата изменения: Tue Oct 26 20:50:39 2010 Дата индексирования: Sun Feb 13 22:26:46 2011 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п р р р р р р п п п п п п п п

Алгебра I (2010) Лекция 7 @ 19.10.10
Модули в линейной алгебре
На предыдущей лекции была доказана следующая теорема.
Теорема 1 (i) Всякий конечнопорожд?нный модуль над евклидовым кольцом K изомо-
рфен прямой сумме модулей вида K и K=p i K, где i # N, p # K  простой необратимый
элемент.
(ii) Такое разложение единственно.
В этот раз поговорим о приложениях и границах применимости этой теоремы.
Упражнение 1 Обобщите доказательство Теоремы 1 для колец главных идеалов.
1) Пусть K = Z. Тогда из Теоремы 1 получается классификация конечнопорожд?нных
абелевых групп в виде декартовых произведений Z и Z=p i Z, где i # N, и p # N  простое
число.
Пример группы Q по сложению не укладывается в эту схему  Q не конечнопорождено
над Z, и при этом между любыми двумя элементами имеется соотношение.
Упражнение 2 Группа Q не может быть представлена декартовым произведением
ненулевых групп.
2) Пусть K  поле, посмотрим, что возможно извлечь из Теоремы 1 в рамках линейной
алгебры.
Определение 1. Базис векторного пространства  это
i) минимальный (по вложению) набор образующих;
ii) максимальный (по вложению) набор элементов без соотношений;
iii) набор образующих без соотношений.
Упражнение 3 Докажите, что эти определеня эквивалентны.
Часть (iii) Определения 1 говорит о том, что базис конечномерного пространства 
установленный изоморфизм со свободным модулем F n .
Следствие 1 Во всяком конечномерном векторном простанстве существует базис.
Докажем существование базиса для сч?тнопорожд?нного пространства V . Пусть m i ,
i # N,  образующие V . Рассмотрим множество J # N, составленное такими i, что m i
не выражаются через m j при j < i. Тогда легко проверить (используя часть (i) или (iii)
Определения 1), что множество m i для i # J является базисом V . В совсем общем случае,
когда не уда?тся найти сч?тный набор образующих, существование базиса доказывается
с использованием Леммы Цорна.
Пример. Сч?тномерные векторные пространства позволяют привести контрпример для
утверждения о единственности разложения в неевклидовом случае.
Пусть V  бесконечномерное векторное пространство, например F [x] над полем F .
Тогда V # = V # V , где изоморфизм может быть установлен разложением пространст-
ва многочленов в сумму пространств ч?тных многчленов F [x 2 ] и неч?тных многочленов
xF [x 2 ].
Для любого векторного пространства U абелева группа Hom F (V; U) является левым
модулем над кольцом Hom F (V; V ) с действием, определ?нным композицией отображений.
При этом если U # = U # , то Hom F (V; U) # = Hom F (V; U # ) как модули. Значит,
Hom F (V; V ) # = Hom F (V; V # V ) # = Hom F (V; V ) # Hom F (V; V ) = Hom F (V; V ) 2 :

Алгебра I (2010) Лекция 7 @ 19.10.10
Заметим, что отображение F m
# F n однозначно зада?тся матрицей m Ч n, столбцы
которой  образы образующих. Приведение матрицы к нормальной форме доказывает
следующее утверждение.
Следствие 2 Пусть V и W  конечномерные векторные пространства. Линейное от-
ображение f : V # W определяется с точностью до изоморфизмов V # V и W # W
его рангом
rk(f) = dimIm(f) = dimV - dim Ker(f):
3) Пусть теперь K = F [x]. Тогда K-модуль  векторное пространство V с линейным
отображением : V # V . Такие отображения называются операторами на пространстве
V . Отображение F [x]-модулей (V; ) # (V # ; # ) однозначно определяется отображением
 : V # V # , таким что #  =  . В частности, изоморфизм модулей отождествляет не
только векторные пространства, но и соответствующие операторы.
Применим к таким модулям Теорему 1. В случае конечномерного векторного прост-
ранства слагаемые вида F [x] исключены, остаются слагаемые вида F [x]=P k F [x], где P
неразложим над F .
Для начала пусть F алгебраически замкнуто (например, F = C). Тогда неприводим-
ые многочлены имеют степень 1, и слагаемые модуля имеют вид F [x]=(x - ) n F [x]. Они
соответствуют n-мерному векторному пространству со следующим оператором. Выберем
базис в этом пространстве так: (x - ) n-1 ; (x - ) n-2 ; : : : ; (x - ); 1. В н?м действие x
записывается жордановой клеткой:
# # # # # #
 1 0 : : : 0 0
0  1 : : : 0 0
: : : : : : : : : : : : : : : : : :
0 0 0 : : :  1
0 0 0 : : : 0 
# # # # # #
Следствие 3 Каждый оператор в конечномерном векторном пространстве над алгеб-
раически замкнутым полем может быть записан в некотором базисе Жордановой Но-
рмальной Формой: набором жордановых клеток вдоль главной диагонали, прич?м такая
запись единственна с точностью до перестановки клеток.
Теперь пусть F произвольно. Привед?м матрицу к нормальной форме Фробениуса.
Пусть P = x n + a n-1 x n-1 + ћ ћ ћ + a 0
. Тогда модуль K=PK зада?тся n-мерным вектор-
ным пространством со следующим оператором. В базисе 1; x; : : : ; x n-1 ему соответствует
матрица n Ч n вида M(P ) =
# # # # # #
0 0 : : : 0 0 -a 0
1 0 : : : 0 0 -a 1
: : : : : : : : : : : : : : : : : :
0 0 : : : 1 0 -an-2
0 0 : : : 0 1 -an-1
# # # # # #
Следствие 4 Каждый оператор в конечномерном векторном пространстве над произв-
ольным полем может быть записан в некотором базисе Нормальной Формой Фробен-
иуса: набором клеток M(P i ) вдоль главной диагонали, где P i  степени неприводимых
многочленов, прич?м такая запись единственна с точностью до перестановки клеток.
4) Пусть K = F [x; y], в этом случае модуль зада?тся векторным пространством и парой
коммутирующих операторов на н?м. Здесь существует пример неразложимого модуля с
двумя образующими, предлагается построить его самостоятельно (см. листок 7, задача 8).