Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f10/algebra1-lect4new.ps Дата изменения: Fri Oct 1 19:35:06 2010 Дата индексирования: Sun Feb 13 22:20:46 2011 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: images

Алгебра I (2010) Лекция 4 @ 28.09.10
Идеалы коммутативных колец
В рамках этой лекции все кольца предполагаются коммутативными с единицей. Неко-
ммутативный случай будет рассмотрен на следующей лекции.
Определение 1. Пусть f : K 1 # K 2  отображение колец.
Ядро (kernel) отображения f  множество Ker(f) = {x # K 1 |f(x) = 0} # K 1
.
Образ (image) отображения f  множество Im(f) = {f(x) # K 2 |x # K 1 } # K 2 .
Ясно, что ядро и образ  подкольца. При этом любое подкольцо может быть образом
отображения (вложения подкольца в кольцо), но ядро обладает следующими дополнител-
ьными свойствами.
Определение 2. Идеал I # K  подмножество со следующими свойствами:
1) I  подгруппа по сложению ( достаточно проверить, что если a; b # I, то a - b # I),
2) если a # I, x # K, то ax # I.
Определение 3. Пусть I # K  идеал. Факторкольцо K=I (quotient ring)  кольцо
классов эквивалентности элементов K по отношению x # y, если x - y # I.
Корректность сложения при этом следует из аксиомы 1) определения идеала, коррек-
тность умножения  из аксиомы 2). Аксиомы кольца наследуются для факторкольца из
исходного кольца.
При этом любой идеал I является ядром естественной проекции K # K=I, сопостав-
ляющей каждому элементу его класс.
Пример. Кольцо Z=nZ является факторкольцом Z по идеалу nZ.
Заметим, что идеалы частично упорядочены по вложению.
Определение 4. Идеал, не совпадающий со всем кольцом называется собственным. Мак-
симальный по вложению среди собственных идеалов называется максимальным.
Следующее определение будет встречаться довольно часто для разных объектов.
Определение 5. Идеал, порожд?нный множеством X  минимальный (по вложению)
идеал, содержащий M .
Ясно, что в нашей общности коммутативных колец с единицей такой идеал состоит из
элементов вида x 1
a 1 + ћ ћ ћ + xm am , где a i # X, x i ; # K.
Предложение 1 Идеал, порожд?нный множеством X существует и единственен. Урав-
нение a 1 x 1 + ћ ћ ћ + a n x n = c разрешимо в кольце K тогда и только тогда c принадлежит
идеалу, порожд?нному a 1
; : : : ; a n .
Определение 6. Идеал, порожд?нный конечным набором элементов a 1 ; : : : ; a n , будем
называть конечнопорожд?нным и обозначать (a 1
; : : : ; a n ). Идеал (a), порожденный одним
элементом, называется главным.
Предложение 2 В евклидовом кольце всякий идеал главный.
Доказательство: Рассмотрим ненулевой элемент идеала с минимальной нормой. Тогда всякий
другой элемент идеала на него делится с нулевым остатком.
Теперь мы можем доказать, что некоторые кольца не евклидовы.
Упражнение 1 Докажите, что идеал (x; y) # C[x; y] не является главным.
Тем не менее, кольцо C[x; y] факториально. Докажем это. Пусть кольцо K факториал-
ьно. Тогда в н?м определены наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное
любого конечного набора элементов: для этого у каждого простого множителя бер?тся
соответственно минимальная и максимальная степень и рассматривается класс произве-
дения этих степеней. Для простоты записи будем обозначать символом 1 также класс
обратимых элементов, если это не приводит к разночтениям.

Алгебра I (2010) Лекция 4 @ 28.09.10
Определение 7. Пусть P # K[x]. Определим содержание многочлена cnt(P ) как наибо-
льший общий делитель коэффициентов P .
Лемма 1 Если P прост в K[x], то либо cnt(P ) = 1, либо deg P = 0.
Доказательство: В противном случае многочлен представим произведением необратимой ко-
нстанты и многочлена положительной степени.
Лемма 2 Имеет место равенство cnt(PQ) = cnt(P ) ћ cnt(Q).
Доказательство: Ясно, что cnt(P Q) делится на cnt(P ) ћ cnt(Q). Сокращая на общие делители,
достаточно доказать равенство для случая cnt(P ) = cnt(Q) = 1. Предположим, cnt(PQ) содержит
класс элемента n #= 1, пусть p  простой делитель n. Тогда пусть a i  первый коэффициент
P (x) = a n x n + ћ ћ ћ + a 0 , не делящийся на p (то есть p|a k при k < i), аналогично пусть b j  первый
коэффициент Q(x), не делящийся на p. Тогда i + jтый коэффициент PQ не делится на p, что
противоречит предположению.
Ключевой момент доказательства факториальности K[x]  переход от K[x] к бол-
ьшему кольцу F (K)[x], где F (K)  поле частных K. Другими словами, мы разрешаем
делить многочлены на элементы K.
Лемма 3 Если P # K[x] прост, deg(P ) > 0, то P прост и в F (K)[x].
Доказательство: Предположим, P = R 1 R 2 в F (K)[x], где deg(R i ) > 1, i = 1; 2. Тогда R i = m i
n i
P i ,
где P i # K[x] и cnt(P i ) = 1. Значит, в K[x] выполнено равенство n 1 n 2 P = m 1 m 2 P 1 P 2 . Сравнивая
содержания левой и правой части по Лемме 2, получим n 1 n 2 # m 1 m 2 и P отличается от P 1 P 2 на
обратимый множитель.
Теорема 1 Если кольцо K факториально, то и K[x] факториально.
Доказательство: Существование разложения доказывается по индукции аналогично евклидов-
ому случаю, используя понижение степени или содержания. Кроме того, по Лемме 1 и Лемме 2
это представление имеет вид P = p 1 : : : p s ћ P 1 : : : P n , где p i # K, p 1 : : : p s эквивалентно cnt(P ), и
deg(P i ) > 0, cnt(P i ) = 1. В силу факториальности K классы p i определены однозначно, поэтому
достаточно доказать единственность разложения для случая cnt(P ) = 1.
Пусть такой P разлагается на простые множители в K[x] двумя способами, то есть P =
P 1 : : : P n = Q 1 : : : Qm где P i ; Q i # K[x]  простые элементы ненулевой степени. Докажем, что они
эквивалентны с точностью до перестановки.
Вспомним, что F (K)[x] факториально, значит по Лемме 3 выполнено m = n и Q i отличаются
от соответствующих P j множителями из F (K), то есть pQ i = qP j , где p; q # K. Но так как
cnt(P j ) = cnt(Q i ) = 1, имеем p # q в K и Q i # P j в K[x].
Следствие 1 Если K факториально, то K[x 1 ; : : : ; x n ] тоже факториально.
Определение 8. Пересечение идеалов I 1 # I 2
 пересечение соответствующих множеств.
Сумма идеалов I 1 + I 2  идеал, порожд?нный I 1 # I 2 . Он состоит из элементов a + b,
где a # I 1
, b # I 2
.
Произведение идеалов I 1 I 2  идеал, порожд?нный элементами ab, где a # I 1 , b # I 2 .
Упражнение 2 Идеалы с операциями сложения и умножения образуют полукольцо.
Упражнение 3 В евклидовом кольце сумма идеалов соответствует НОД образующих,
произведение  произведению, пересечение  НОК.

Алгебра I (2010) Лекция 4 @ 28.09.10
Определение 9. Определим декартово произведение колец/групп K 1 ЧK 2
как множество
пар (a; b), a # K 1 , b # K 2 с операциями
(a; b) + (a # ; b # ) = (a + a # ; b + b # ); (a; b) ћ (a # ; b # ) = (a ћ a # ; b ћ b # ):
Предложение 3 Пусть K  коммутативно, I 1 ; I 2 # K  идеалы. Пусть I 1 + I 2 = K,
тогда K=(I 1 # I 2 ) # = K=I 1 ЧK=I 2
.
Доказательство: Пара естественных проекций зада?т отображение K # K=I 1 Ч K=I 2 . Ядро
этого отображения совпадает с I 1 # I 2 . А чтобы убедиться, что это отображение  наложение,
достаточно решить уравнение r + x = s + y относительно переменных x # I 1 и y # I 2 при
произвольных r; s # K, что возможно в силу I 1 + I 2 = K.
Следствие 2 Китайская теорема об остатках Пусть K евклидово, a; b # K взаимно
просты. Тогда K=abK # = K=aK ЧK=bK.
Определение 10. Пусть K  коммутативное кольцо. Идеал I называется простым, если
он отличен от нуля и K, и из ab # I следует a # I или b # I.
Упражнение 4 Идеал прост тогда и только тогда факторкольцо не имеет делителей
нуля.
Пример. Рассмотрим кольцо K = Z[ # -5]. Оно не является факториальным так как
6 = 2 ћ 3 = (1 - # -5)(1 - # -5);
и простота этих сомножителей доказывается аналогичным вычислением комплексной но-
рмы. Но при этом
(2) = (2; 1 + # -5)(2; 1 - # -5); (3) = (3; 1 + # -5)(3; 1 - # -5);
и идеал (6) разложился в произведение этих четыр?х простых идеалов.
Определение 11. Целостное кольцо, в котором идеалы однозначно распадаются в произ-
ведение простых, называется дедекиндовым.
Пример. Кольцо K = Z[ # -3] не является ни факториальным, ни дедекиндовым, так как
идеал (2) содержится только в идеале (2; 1+ # -3) и не является его степенью. Тем не менее,
добавление чисел виде (a + b # -3)=2 с неч?тными a и b делает это кольцо евклидовым.
Предложение 4 Всякое простое поле изоморфно Q или Z=pZ для простого p # N.
Доказательство: Рассматривая элементы +(1+ ћ ћ ћ +1), получим отображение колец  : Z # F .
Так как в F нет делителей нуля, либо ядро  равно нулю, либо оно является простым идеалом
в Z. В первом случае  продолжается до вложения соответствующего поля частных Q в F , во
втором случае оно является вложением Z=pZ в F . В силу простоты F , это вложение является
изоморфизмом.
Определение 12. Характеристика (characteristic) поля  целое число, полагаемое рав-
ным нулю, если простое подполе изоморфно Z, и равным p, если оно изоморфно Z=pZ.