Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f10/algebra1-lect2new.ps Дата изменения: Fri Sep 17 18:38:25 2010 Дата индексирования: Sun Feb 13 22:16:54 2011 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п р п р п р п р п р п р п р п

Алгебра I (2010) Лекция 2 @ 14.09.10
N # Z # Q # R # C
Определение 1. Отношение эквивалентности # на множестве M .
1) Рефлексивность: a # a.
2) Симметричность: если a # b, то b # a.
3) Транзитивность: если a # b, b # c, то a # c.
Предложение 1 Отношение эквивалентности разбивает M в объединение классов эквива-
лентности, так что a # b тогда и только тогда, когда они принадлежат одному классу экви-
валентности.
Определение 2. Будем говорить, что операция a ? b определена корректно на классах эквива-
лентности, если для a # a # , b # b # выполнено a ? b # a # ? b # .
Определение 3. Целостное кольцо (integral domain)  коммутативное кольцо с единицей без
делителей нуля, то есть таких a; b #= 0, что a ћ b = 0.
Определение 4. Поле частных F (K) целостного кольца K  множество классов эквивалентн-
ости пар (a; b), a; b # K (записываемых как дроби a=b) по отношению a=b # c=d если a ћ d = b ћ c
(проверьте транзитивность!), с операциями
a=b + c=d = (a ћ d + b ћ c)=(b ћ d); (a=b) ћ (c=d) = (a ћ c)=(b ћ d); -(a=b) = (-a)=b; (a=b) -1 = b=a:
Заметим, что для транзитивности отношения # требуется отсутствие делителей нуля.
Упражнение 1 Поле частных действительно является полем, содержащим K в качестве по-
дкольца (a; 1).
Для полукольца можно аналогичным образом доопределить вычитание. Но чтобы добиться
транзитивности отношения прид?тся немного усложнить конструкцию.
Определение 5. Пусть X  полукольцо с коммутативным сложением. Определим его кольцо
Гротендика K(X) как множество классов эквивалентности пар (a; b), a; b # K (записываемых как
разности a - b) по отношению a - b # c - d если существует k # X, такое что a + d + k = c + b + k,
с операциями
(a - b) + (c -d) = (a + c) - (b +d); (a - b) ћ (c -d) = (a ћ c + b ћ d; a ћ d+ b ћ c); -(a- b) = b - a:
Упражнение 2 Кольцо Гротендика действительно является кольцом.
Заметим, что X отображается в K(X) как элементы вида (a + a; a), но такое отображение не
всегда является вложением.
Определение 6. Пусть K  коммутативное кольцо. Норма |a| : F # Q,  отображение, такое
что
1) |a| # 0, |a| = 0 только если a = 0,
2) |ab| = |a||b|,
3) |a + b| # |a| + |b|.
Определение 7. Последовательность a i # F , i # N, называется фундаментальной, если
#" > 0 #N # N : #m;n > N |a m - a n | < ":
Определение 8. Пополнение K  множество классов эквивалентности фундаментальных пос-
ледовательностей по отношению a i # b i , если
#" > 0 #N # N : #m;n > N |a m - b n | < "
с почленным сложением и умножением.

Алгебра I (2010) Лекция 2 @ 14.09.10
Упражнение 3 Докажите, что K является коммутативным кольцом, содержащим K в ка-
честве подкольца. Более того, докажите, что если K является полем, то и K является полем.
И так, Z = K(N), Q = F (Z), R = Q, а C легко получить из R добавлением мнимой единицы.
Замечательное свойство поля C  его алгебраическая замкнутость
Теорема 1 Основная теорема алгебры. Всякий многочлен ненулевой степени с комплекс-
ными коэффициентами имеет комплексный корень.
Определение 9. Векторное поле на плоскости v(x) : R 2
# R 2  непрерывное отображение,
сопоставляющее каждой точке плоскости вектор (тонкое различие между точками и векторами
обсудим позже в контексте линейной алгебры).
Определение 10. Особая точка (ноль) векторного поля  точка x, такая что v(x) = 0.
Заметим, что каждый ненулевой вектор v(x) можно записать в тригонометрической форме
[r(x); (x)], где угол (x) определ?н с точностью до 2k, k # Z. Пусть теперь (t), t # [0; 1], 
непрерывная плоская замкнутая ( (1) = (0)) кривая, не проходящая через особые точки v. Тогда
( (t)) можно считать непрерывной функцией на отрезке [0; 1], прич?м е? значения на концах
отличаются на 2k.
Определение 11. Вращение векторного поля v(x) на кривой (t) определяется как целое число
(( (1)) - ( (0)))=2.
Следующая лемма верна для границы любой области, но нам она потребуется в достаточно
слабой общности.
Лемма 1 Если вращение векторного поля на окружности (t) = (R cos(2t); R sin(2t)) отл-
ично от нуля, то внутри не? есть особая точка этого векторного поля.
Доказательство: Пусть внутри окружности нет особых точек, тогда вращение определено как функция
от радиуса r контура при 0 # r # R. Эта функия непрерывна и дискретна (принимает значения 2k),
значит она константа. Но при r = 0 е? значение равно нулю, что противоречит условию.
Лемма 2 Если на кривой векторные поля u и v образуют острый угол, то их вращения
совпадают.
Доказательство: По условию значения двух функций отличаются меньше, чем на =2 по модулю 2,
значит они отличаются меньше, чем на =2 и по абсолютному значению, в частности и на концах.
Теперь мы в силах доказать Теорему 1. Умножая на константу, достаточно рассмотреть случай
многочлена вида P (z) = z n + a n-1 z n-1 + ћ ћ ћ + a 0 . Он как отображение C = R 2 в C = R 2 зада?т
векторное поле, и требуется доказать наличие особой точки. Возьм?м R = |a n-1 | + ћ ћ ћ + |a 0 |.
Тогда на окружности |z| = R имеем |P (z) - z n
| # |z n
|, значит, поле P (z) на окружности |z| = R
образует острый угол с полем z n . При этом вращение векторного поля z n равно n, откуда по
Лемме 2 вращение P (z) отлично от нуля, и по Лемме 1 у него есть особая точка.