Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f09/algebra3_07.ps Дата изменения: Fri Nov 6 16:41:19 2009 Дата индексирования: Tue Nov 24 14:57:22 2009 Кодировка: Windows-1251

Алгебра III (2009) Семинар 7 @ 3.11.09
(Ко)гомологии ассоциативных алгебр
По умолчанию тензорное произведение и двойственность в этом листке подразумева-
ется над основным полем C.
Пусть A  ассоциативная алгебра с единицей над C. Напомним, что бимодуль над A
 это то же самое, что и модуль над
A# A op , где A op получается из A переменой порядка
сомножителей.
Задача 1. a) Для каких алгебр A бимодуль A с действием A умножением слева и A op
умножением справа является свободным бимодулем?
b) Докажите, что для любого бимодуля M бимодуль
A# M# A (с действием A на первый
сомножитель и A op на третий) является свободным бимодулем. Что можно взять в качестве
его образующих?
Задача 2. Пусть # n :
A# n
#
A# (n-1)  следующее отображение:
# n (a
1# ћ ћ
ћ# a n ) =
n-1
# i=1
(-1) i-1 a
1# ћ ћ
ћ# a
i-1# a i a
i+1# a
i+2# ћ ћ
ћ# a n .
a) Докажите, что # n # n+1 = 0
b) Докажите, что комплекс ћ ћ ћ # 4
#
A# 3 #3
#
A# 2 # 2
# A # 0 является свободной резольвентой
A как бимодуля (она называется бар-резольвентой).
Подсказка: Воспользуйтесь вспомогательным дифференциалом D :
A# n
#
A# (n+1) , определ?н-
ным как D(a
1# ћ ћ
ћ# a n ) =
1# a
1# ћ ћ
ћ# a n .
Задача 3. Пусть M  бимодуль над A.
a) Докажите, что гомологический комплекс Хохшильда
ћ ћ ћ #4
#
A# 3# M # 3
#
A# 2# M # 2
#
A# M # 1
#M # 0
с дифференциалом # n :
A# n# M #
A# (n-1)# M , заданным как # n (a
1# ћ ћ
ћ# a
n# m) =
= a
2# ћ ћ
ћ# a
n# ma 1 + (-1) n a
1# ћ ћ
ћ# a
n-1# a n m +
n-1
# i=1
(-1) i a
1# ћ ћ
ћ# a i a
i+1# ћ ћ
ћ# a
n# m
вычисляет Tor
A# A op
i (A, M).
b) Докажите, что когомологический комплекс Хохшильда
ћ ћ ћ d 4
# (A #
)# 3# M d3
# (A #
)# 2# M d2
# A
## M d 1
#M # 0
с дифференциалом d n : (A #
)# n# M # (A #
)# (n+1)# M , заданным как (d n f)(a 1 , . . . , a n+1 ) =
= a 1 f(a 2 , . . . , a n+1 ) - (-1) n f(a 1 , . . . , a n )a n+1 +
n
# i=1
(-1) i f(a 1 , . . . , a i a i+1 , . . . , a n+1 )
вычисляет Ext i
A# A op (A, M).
Определение 1 Когомологиями Хохшильда алгебры A с коэффициентами в модуле M
называются пространства HH i (A, M) = Ext i
A# A op(A, M), гомологиями Хохшильда  про-
странства HH i (A, M) = Tor
A# A op
i (A, M).
Задача 4. Для A = C вычислите гомологии и когомологии Хохшильда
a) с коэффициентами в тривиальном бимодуле C;
b) с коэффициентами в A.

Алгебра III (2009) Семинар 7 @ 3.11.09
Задача 5. Что такое HH 0 (A, M) и HH 0 (A, M) в терминах A и M?
Задача 6. a) Пусть f : A # A  линейное отображение. Докажите, что f является
1-коциклом Хохшильда с коэффициентами в A тогда и только тогда, когда f является
дифференцированием A, то есть f(ab) = af(b) + f(a)b.
b) Докажите, что пространство HH 1
(A, A) составляют дифференцирования A с точностью
до внутренних дифференцирований f x : A # A, f x (y) = xy - yx.
Задача 7. Добавим к алгебре A элемент K и определим умножение на A#CK по правилу
K ћ a = a ћ K = 0; a ћ b = ab + f(a, b)K где f # (A # ) 2 .
a) Докажите, что такое умножение ассоциативно тогда и только тогда, когда f является
2-коциклом Хохшильда с тривиальными коэффициентами.
b) Докажите, что полученная алгебра (она называется центральным расширением A) изо-
морфна A # C тогда и только тогда, когда f является кограницей.
Задача 8. Определим деформированное умножение на A по правилу
a # b = ab + #f(a, b) + o(#),
где #  комплексный параметр, а f :
A# 2
# A  линейное отображение.
a) Докажите, что это умножение ассоциативно с точностью до o(#) тогда и только тогда,
когда f является 2-коциклом Хохшильда с коэффициентами в A.
b) Что можно сказать об этой алгебре, если f  кограница?
Задача 9. Пусть A = T # (V )  тензорная алгебра пространства V (она же свободная
ассоциативная алгебра). Вычислите HH i (A, C), HH i (A, C), HH i (A, A), HH i (A, A).
Подсказка: Постройте более удобную резольвенту для T # (V ), воспользовавшись тем, что ядро
отображения T # (V
)# T # (V ) # T # (V ) само будет свободным бимодулем.
Задача 10. Вычислите HH i (A, C), HH i (A, C), HH i (A, A), HH i (A, A) для
a) A = C[x];
b # ) A = C[x 1 , . . . , x n ];
Подсказка: Постройте аналог резольвенты Кошуля, начинающийся с
A# A # A.
c # ) A = # n
Подсказка: Постройте косой аналог резольвенты Кошуля.