Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f09/algebra3_03.ps Дата изменения: Fri Oct 9 15:06:25 2009 Дата индексирования: Fri Oct 16 23:54:16 2009 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 63

Алгебра III(2009) Семинар 3 @ 22.09.09
Многообразия Грассманна
Пусть Gr(k, n)  множество k-мерных плоскостей C n . Зададим на этом множестве есте-
ственную структуру проективного многообразия. Для начала вложим Gr(k, n) в CP(# k (C n )),
где # k (C n )  пространство косых многочленов степени k от n переменных.
Задача 1. Докажите, что сопоставление k-мерной плоскости с базисом e 1 , . . . , e k класса
вектора e 1 # ћ ћ ћ # e k # CP(# k (C n )) зада?т вложение множеств.
Это отображение называется вложением Плюккера. Докажем, что его образ  про-
ективное многообразие. Для w # # k (C n ) определим отображение умножения mw : C n # =
# 1 (C n ) # # k+1 (C n ), переводящее v в v # w.
Задача 2. a) Докажите, что для w #= 0 ранг mw не меньше n - k.
b) Докажите, что элемент w # # k (C n ) разложим (то есть лежит в образе Gr(k, n)) тогда
и только тогда ранг mw равен n - k.
c) Запишите это условие через определители. Сколько уравнений получилось и какова их
степень?
Этого уже достаточно, чтобы считать Gr(k, n) проективным многообразием. На самом
деле, можно обойтись уравнениями второй степени  (уравнениями Плюккера). Заметим,
что элементы двойственного пространства #((C n ) # ) действуют на #(C n ) дифференциаль-
ными операторами (это мы наблюдали, изучая алгебры Клиффорда).
Задача 3. a) Докажите, что w # # k (C n ) разложим тогда и только тогда #(w) #w = 0 для
любого # # # k-1 ((C n ) # ).
Подсказка: Вычислите размерность подпространства, составленного #(w) для данного w.
b) Запишите это условие системой уравнений. Сколько независимых уравнений получи-
лось для Gr(2, 4)?
Задача 4. Какими дополнительными уравнениями в координатах Плюккера задаются
плоскости
a) содержашие данную плоскость (меньшей размерности);
b) пересекающие данную плоскость.
Задача 5. a) Докажите, что множество касательных плоскостей к неособому проектив-
ному многообразию является подмногообразием (т.е. замкнуто по Зарисскому) в соответ-
ствующем многообразии Грассмана.
Подсказка: Разберите вначале случай, когда количество уравнений совпадает с коразмерностью
касательного пространства.
b) Какими уравнениями в Gr(2, 4) выделяются касательные к кубике Веронезе в CP 3 ?
Определение 1 Будем говорить, что проективное многообразие M размерности N ра-
ционально, если найдутся открытые по Зарисскому множества U 1 # M , U 2 # CP N и
регулярный рациональный изоморфизм U 1 # = U 2 .
Докажем, что Gr(k, n)  рациональное многообразие размерности k(n - k). Пусть
U # C n  подпространство размерности n - k. Обозначим
#
U # Gr(k, n) подмножество
плоскостей, не пересекающихся с U . Мы уже знаем, что оно открыто в топологии Зарис-
ского.
Задача 6. Постройте регулярный рациональный изоморфизм между
#
U и C k(n-k) .
Подсказка: Элементы
#
U являются графиками отображений из C n /U в U .
Задача 7. a) Задайте структуру проективного многообразия на множестве флагов  це-
почек вложенных подпространств V 1 # ћ ћ ћ # Vm фиксированной размерности.
b) Докажите, что многообразие флагов тоже рационально и вычислите его размерность.