Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f09/analiz3_exam1.ps Дата изменения: Sun Dec 27 12:27:03 2009 Дата индексирования: Sat Jan 2 04:01:22 2010 Кодировка: koi8-r

Анализ на многообразиях, 2 курс 13.12.2009
Экзамен
Задача 1. Пусть ! | (n-1)-форма на n-мерном компактном ориентируемом многообра-
зии M без края. Покажите, что d!(x) = 0 в некоторой точке x # M .
Задача 2. Вычислите интеграл
# M
dx # dz
y + z
;
где поверхность M # R 3 задана уравнением x 2 + 2xz + 4z 2 + 2yz + y 2 = 2. Поясните, что
в данном случае следует понимать под интегралом (форма не определена всюду на M ).
Задача 3. Пусть M # R 3 | двумерная ориентированная поверхность (возможно, с кра-
ем), заданная уравнением f(x; y; z) = 0, где f | гладкая функция на R 3 , df #= 0 на M .
Обозначим через dS форму площади на M , а через  | вектор внешней нормали к M .
Пусть ! | 2-форма в R 3 , и пусть функция g определена условием df # ! = g dx # dy # dz.
Выразите !| M через g, df() и dS.
Задача 4. Пусть G = SL 2
(R) | группа всех 2 в 2-матриц с определителем 1. Введем
функции x 1 , x 2 , x 3 на G формулами
x 1 (A) = a 11
; x 2 (A) = a 12
; x 3 (A) = a 21
для A = (a ij ) # G:
1) Докажите, что функции x 1 ; x 2 ; x 3 образуют систему координат в некоторой окрест-
ности единичного элемента.
2) Обозначим через  1
;  2
;  3
левоинвариантные векторные поля на G, однозначно опреде-
ленные условиями  i (e) = (@=@x i )(e). Покажите, что коммутатор [ i ;  j ] является линейной
комбинацией полей  1
;  2
;  3
, и вычислите коэффициенты этой линейной комбинации для
каждых i; j.
3) Обозначим через ! 1 ; ! 2 ; ! 3 правоинвариантные 1-формы на G, однозначно определен-
ные условиями ! i (e) = dx i (e). Покажите, что d! i является линейной комбинацией форм
! 1
# ! 2 , ! 1
# ! 3 , ! 2
# ! 3 , и вычислите коэффициенты этой комбинации для каждого i.
4) Пусть g  i
t | потоки полей  i (i = 1; 2; 3). Найдите явную формулу для g  i
t (x) для
каждого x # G.
5) Положим h ij = g  j
-t g  i
-t g  j
t g  i
t . Найдите явные формулы для h 12
(x) и h 23
(x) для каждого
x # G. Убедитесь, что h ij (x) = g [ i ; j ]
t 2
(x) + o(t 2 ) при t # 0 для (i; j) = (1; 2) и (i; j) = (2; 3).
6) Рассмотрим 1-форму !(x) = tr(x) ! 1 (x)+! 2 (x). Для i = 1; 2 покажите, что производная
Ли L  i
(!) равна f 1
i ! 1
+ f 2
i ! 2
для некоторых функций f 1
i ; f 2
i . Найдите явные формулы для
этих функций.
Задача 5. Пусть M | связное многообразие, f : M # M | гладкое отображение, удо-
влетворяющее условию f # f = f . Докажите, что f(M) | подмногообразие в M .