Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f09/analiz3_10.ps Дата изменения: Wed Dec 2 09:54:19 2009 Дата индексирования: Sat Jan 2 02:59:20 2010 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: плотность

Анализ на многообразиях, 2 курс 19.11.2009
10. Плотности и римановы метрики
Задача 1. Пусть V | векторное пространство над R, n = dimV , T | линейный оператор
в V . Докажите, что # n
T | умножение на det T . Выведите отсюда, что для любых базисов
e 1 ; : : : ; e n и e # 1
; : : : ; e # n в V имеет место равенство e # 1 # : : : # e # n = (det C) e 1 # : : : # e n , где C
| матрица перехода от (e i ) к (e # i
).
Задача 2. Докажите, что непрерывная плотность на многообразии M | это то же са-
мое, что отображение  из множества Vect n (M) n-поливекторных полей на M в C(M ),
удовлетворяющее условию (fu) = |f |(u) для всех u # Vect n (M); f # C # (M ).
Задача 3. Докажите, что C # (M)-модуль гладких плотностей на многообразии M изо-
морфен C # (M) [предостережение: но канонического изоморфизма в общем случае нет].
Задача 4. Не используя теорему Уитни, докажите, что на любом многообразии суще-
ствует риманова метрика.
Задача 5. Пусть M | поверхность (двумерное подмногообразие) в R 3 , параметризован-
ная посредством гладкого отображения r : U # R 3 , где U | открытое подмножество в
R 2 . Обозначим через (u; v) декартовы координаты в U ; их же можно считать координа-
тами на M . Снабдим M римановой метрикой g, индуцированной из R 3 (она называется
первой квадратичной формой поверхности M ).
1) Докажите, что g = E du 2 + 2F du dv +G dv 2 , где E = (r u ; r u ), F = (r u ; r v ), G = (r v ; r v ).
2) Докажите, что соответствующая плотность объема на M задается формулой |dV | =
|[r u в r v ]||du dv| (где крестик означает векторное произведение).
Задача 6. Пусть F : R 3
# R | гладкая функция, p 0 # R 3 , F #
z
(p 0 ) #= 0. По теореме о
неявной функции, пересечение множества {p # R 3 : F (p) = 0} с некоторой окрестностью
точки p 0 является подмногообразием M в R 3 , и декартовы координаты (x; y) точки p =
(x; y; z) # M можно рассматривать как координаты на M . Вычислите риманову метрику
и плотность объема на M в координатах (x; y).
Задача 7. Сделайте то же, что в предыдущей задаче, в случае, когда поверхность M # R 3
| график гладкой функции f : U # R (где U | открытое подмножество в R 2 ).
Задача 8. Вычислите риманову метрику в R 3 и ее ограничение на единичную сферу
S 2
# R 3 в сферических координатах.
Задача 9. Пусть S 2
# R 3 | единичная сфера, N = (0; 0; 1) | ее северный полюс. Введем
координаты (x; y) на S 2
\ {N}, полагая их для p # S 2
\ {N} равными декартовым коорди-
натам стереографической проекции точки p на R 2 . Вычислите риманову метрику на S 2
в координатах (x; y).
Определение 1. Расширенная комплексная плоскость | это множество C = C # {#}.
Дробно-линейным преобразованием называется отображение из C в C вида
z ##
az + b
cz + d
;
где a; b; c; d # C и ad - bc #= 0.

Задача 10. Отождествим S 2 с C посредством стереографической проекции.
1) Какие дробно-линейные преобразования сохраняют метрику на S 2 ?
2) Постройте изоморфизм SU 2
={±1} # = SO 3
.
Задача 11. Обозначим через R 1;2 пространство R 3 с координатами (t; x; y) и псевдори-
мановой метрикой g = dt 2
- dx 2
- dy 2 . Псевдосферические координаты (; ; ') в области
t 2
- x 2
- y 2 > 0 определяются формулами
t =  ch ; x =  sh  cos '; y =  sh  sin ' ( # R;  > 0; ' # [0; 2]):
Вычислите g и ее ограничение на верхнюю чашку (t > 0) единичной псевдосферы
{(t; x; y) # R 1;2 : t 2
- x 2
- y 2 = 1}
в псевдосферических координатах. Убедитесь, что -g | риманова метрика на верхней
чашке псевдосферы. Аналогичным образом постройте риманову метрику на нижней чаш-
ке.
Задача 12. Рассмотрим стереографическую проекцию псевдосферы на плоскость t = 0
из южного полюса (0; 0; -1) (так что верхняя чашка псевдосферы отобразится на единич-
ный круг D = {(x; y) : x 2 + y 2 < 1}, а нижняя | на его внешность x 2 + y 2 > 1). Будем
рассматривать (x; y) # D как координаты на верхней чашке псевдосферы посредством
стереографической проекции (как в задаче 9). Вычислите риманову метрику на псевдо-
сфере (определенную в предыдущей задаче) в координатах (x; y). Соответствующая ей
метрика на D называется метрикой Лобачевского.
Задача 13. Отобразим верхнюю полуплоскость H = {z # C : Im z > 0} на единичный
круг D посредством дробно-линейного отображения
'(z) = i
z - i
z + i
:
Убедитесь, что ' | диффеоморфизм H на D, и вычислите метрику ' # g на H , где g |
метрика Лобачевского на D (см. предыдущую задачу). Метрика ' # g также называется
метрикой Лобачевского на H .