Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f08/probability_1.ps Дата изменения: Tue Sep 16 18:16:36 2008 Дата индексирования: Thu Jan 15 18:30:01 2009 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п

Листок 1
1. Имена и отчества 36 пассажиров вагона распределены независимо и случайно. Ве-
роятность, что среди пассажиров есть Георгий Сем?нович, равна 1
10 4 . Какова вероятность,
что Георгий Сем?нович Зеленов, купивший билет на поезд, встретит в вагоне полного
т?зку (и в вагоне будет два Георгия Сем?новича)? Больше 1
5Ч10 6 или меньше?
Замечание 1. 35
36 Ч 1
10 4 не является правильным ответом потому же, почему и 0.
2. Рассмотрим подбрасывание двух групп симметричных монеток  из 2m и из 2n
штук, соответственно (m > n). Что вероятнее: что в первой группе доля монет, выпавших
орлом вверх, будет больше отклоняться от 1
2
или что во второй группе количество монет,
выпавших орлом вверх, будет больше отклоняться от половины?
3. а) Докажите, что в любом вероятностном
пространстве# любое событие положи-
тельной вероятности A можно сделать вероятностным пространством так, что для любых
двух событий в н?м B, C # A выполнено p A (B|C) =
p# (B|C).
б) Докажите, что если в
пространстве# событие A имеет вероятность 1, то для любого
события B выполняется равенство p(B|A) = p(B).
в) Верно ли, что
если#  вероятностное пространство, A
##  событие положительной
вероятности, и B, C # A  события, вложенные в A, прич?м в пространстве A они неза-
висимы, то и в
пространстве# они независимы? Верно ли обратное? Верно ли, что если
p(A) > 0 и A, B, C попарно независимы, то B # A и C # A независимы в пространстве A.
4.
Рассмотрим# = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Рассмотрим следующее распределение вероятностей
p(k) = a k-1 1 - a
1 - a 6 , где 0 < a #= 1. Являются ли в н?м независимыми события k ч?тно и
k составное, если a = # -2+ # 7
2
? Если a = # -1+ # 5
2
?
5. Некоторое событие A имеет вероятность 10 -6 . У нас имеется метод проверки того,
что оно случилось, который да?т ответ "да" с вероятностью 1 при условии, что событие A
случилось. При условии, что событие A не случилось, проверка да?т ложное срабаты-
вание с вероятностью 10 -4 . Какова вероятность события A, при условии, что проверка
подтвердила, что событие произошло?
6. Пусть в некотором
пространстве# фиксированы A # B
## , p(B \ A) #= 0. Могут
ли A и B быть независимыми?
7. Двое играют в подбрасывание монеты до пяти побед (не обязательно подряд). Монета
симметричная. Какая вероятность выигрыша первого игрока, при условии, что из первых
пяти бросаний три раза победил первый и два раза победил второй?
8. Дано вероятностное
пространство# , число n # N и 3n случайных величин на про-
странстве# , задающих 3 вектора X, Y и Z в R n . Верно ли, что P (Z #< X, Y > |X #=
#Y ) > P (Z #< X, Y > |X = #Y ).
1