Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f08/algebra3_8.ps Дата изменения: Fri Nov 7 16:17:25 2008 Дата индексирования: Thu Jan 15 17:47:09 2009 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: внешние планеты

Алгебра 3-8
Для комплексного векторного пространства V обозначим через множе-
ство V рассматриваемое как вещественное векторное пространство (по уче-
ному - ограничение скаляров), а через V множество V рассматриваемое
как комплексное прастранство на котором комплексные числа действуют
умножением на комплексно сопряженное.
Для вещественного векторного пространства V обозначим рассмотрим
векторное пространство
V# R C. На нем естественно действует пое ком-
плексных чисел посредством умножения на второй сомножитель. Иногда
мы будем обозначать это комплексное векторное пространство через V.
1. Эндоморфизм A пространства V индуцирует отображение
A# Id C
пространства
V# R C. Докажите что это отображение C-линейно. Это отоб-
ражение обозначается A
2. Найдите естественный (то есть совместимый с отображениями) изо-
морфизм между R
V# R C и прямой суммой V # V .
3. Пусть V - представление. Докажите что R
V# R C = V # V .
4. Найдите все неизоморфные неприводимые вещественные представле-
ния конечной циклической группы.
Комплексное векторное пространство вожет быть задано как пара (ве-
щественное векторное пространство V , оператор на нем I равный в квад-
рате -Id V ); а именно, I есть умножение на мнимую единицу.
Напомним что эрмитова положительно определенная форма H на ком-
плексном векторном пространстве это функция от пар векторов такая что
H(u, v) = H(v, u); H(u 1 +u 2 , v) = H(u 1 , v)+H(u 2 , v), H(#u, v) = #H(u, v), # #
C и H(u, u) > 0, u #= 0.
5. Докажите что вещественная часть B эрмитовой положительно опреде-
ленной формы H  симметричная положительно определенная билинейная
форма на вещественном пространстве R V , мнимая
часть# эрмитовой поло-
жительно определенной формы H  антисимметричная билинейная форма
на вещественном пространстве R V . Найдите связь между
B,# и оператором
I умножения на мнимую единицу
6. Пусть B- вещественная положительно определенная билинейная фор-
ма на вещественном пространстве R V . Когда она является вещественной
частью эрмитовой положительно определенной формы?
7. Пусть B- вещественная положительно определенная билинейная фор-
ма на вещественном пространстве V
а# антисимметричная билинейная
форма на том же вещественном пространстве V . Когда существует ком-
плексная структура на V и эрмитова положительно определенная форма
такие что B
и# являются вещественной и мнимой частью этой эрмитовой
положительно определенной формы.
1