Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f06/alg1_s4.ps Дата изменения: Thu Sep 21 19:31:36 2006 Дата индексирования: Sat Dec 22 14:22:23 2007 Кодировка: koi8-r

МК НМУ. Алгебра, 1 курс, 1 семестр. 21.09.06
Линейные операторы.
1. Докажите, что множество Hom(V; W ) всех линейных
отображений из V в W является векторным пространством
относительно операций
1) (A + B)x = Ax + Bx; 2) (A)x = (Ax).
2. Докажите, что эндоморфизмы пространства V образу-
ют алгебру с единицей над полем K. Какие элементы этой
алгебры обратимы?
3. Являются ли линейными следующие отображения A :
V !W :
a) V = W = R 2 , A(x; y) = (y; x); b) V = W = R 2 ,
A(x; y) = (x + y; xy);
c) V = R 2 , W = R 3 , A(x; y; z; t) = (x + y; y + z; z + x);
d) V = W = F [x], (Ap)(x) = q(x)p(x), где q(x) | фикси-
рованный элемент F [x] ;
e) V = W = F [x], (Ap)(x) = p(x 2 + ), где ;  | фикси-
рованные элементы F .
4. Докажите, что ядро и образ линейного отображения
являются линейными пространствами.
5. Найдите ядра и образы отображений из задачи 3.
6. Докажите, что если A 2 End (V ), то dim(KerA) +
dim(Im A) = dimV .

Рангом линейного отображения A называется размерность
его образа: rk A = dim(Im A).
7. Докажите, что a) rk AB  min(rk A; rkB); b)
rk A rk B  rk A+ B  rk A+ rk B.
В каких случаях достигается равенство?
8. Докажите, что линейное отображение является изомор-
физмом тогда и только тогда, когда оно взаимно-однозначно.
9. Докажите, что если U; W  V | подпространства
одинаковой размерности конечномерного пространства V ,
то найдется оператор A 2 End (V ) такой, что AU = W .
10. Пусть A 2 End (V ). Докажите, что либо уравнение
Ax = v имеет решение при любом v 2 V , либо уравнение
Ax = 0 имеет нетривиальное решение.
11. [отражения] Пусть l : V ! K | линейная форма,
v 2 V и l(v) 6= 0.
a) Докажите, что отображение R l;v
: V ! V , опреде-
ленное по правилу R l;v (x) = x 2 l(x)
l(v)
v является линейным
оператором.
b) Найдите порядок и множество неподвижных точек опе-
ратора R l;v
.
c) При каких условиях операторы R l 1 ;v 1
и R l 2 ;v 2
коммути-
руют?

МК НМУ. Алгебра, 1 курс, 1 семестр. 21.09.06
d) Пусть V = R 2 , v = (1; 1), l(x; y) = 2x + y. Нарисуйте
образ прямоугольника с вершинами (0; 2), (0; 4), (1; 4), (1; 2)
при отображении R l;v .
12. [проекторы] Пусть P : V ! V | линейный оператор,
и P 2 = P .
a) Докажите, что V = V 0
+V 1
, где V 0
= KerP , а V 1
= ImP
(P называется проектором на V 1
вдоль V 0
).
b) Пусть P 1
; : : : ; P k
| попарно коммутирующие проекто-
ры, и P 1
+


+P k = id. Докажите, что V = V (1)
1



V (k)
1
.
Пусть (e 1
; : : : ; e n ) | базис V , A 2 End (V ), и Ae j =
P
i
a ij e i .
Таблица чисел A = (a ij
) (элемент a ij
находится на пересе-
чении i-той строки и j-того столбца) называется матрицей
оператора A в базисе (e i ).
13. Найдите матрицы операторов из задач 3, 11 и 12 в
подходящих базисах.
14. Пусть V  R[x] | пространство многочленов степени
не выше n. Докажите, что следующие отображения являют-
ся линейными операторами и найдите их матрицы в базисе
(1; x; x 2 ; : : : ; x n ):
a) (Ap)(x) = p 0 (x); b) (Ap)(x) = p(x + a), a 2 R.
15. Пусть (a ij ), (b ij ) | матрицы операторов A, B 2 End (V )
соответственно. Найдите матрицы операторов A+ B и BA.

16. Укажите какой-нибудь базис End (V ). Выразите раз-
мерность End (V ) через размерность V .
17. Пусть (e 1 ; : : : ; e n ), (f 1 ; : : : ; f n ) | базисы V , f i = Ce i , и
A 2 End (V ).
a) Выразите координаты вектора x в базисе (f 1
; : : : ; f n
)
через его координаты и матрицу C оператора C в базисе
(e 1 ; : : : ; e n ).
b) Выразите матрицу оператора A в базисе (f 1
; : : : ; f n )
через матрицы A; C операторов A; C в базисе (e 1
; : : : ; e n
).
Пусть A 2 End (V ). Оператор A 0 2 End (V 0 ), удовлетворяю-
щий условию (A 0 l)(v) = l(Av), 8l 2 V 0 8v 2 V называет-
ся сопряженным к A.
18. a) Докажите, что сопряженный оператор корректно
определен.
b) Докажите, что отображение (A ! A 0 ) принадлежит
Hom(End (V ); End (V 0 )) и является инволюцией (по модулю
канонического изоморфизма V 00 и V ).
c) Выразите (A) 0 , (A + B) 0 , (AB) 0 через , A и B.
d) Выразите матрицу оператора A 0 в базисе (e 0
i
) через
матрицу оператора A в базисе (e i
), где e 0
i
(e j
) = ф ij
.
e) Докажите, что rkA = rkA 0 .