Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f06/alg1_s3.ps Дата изменения: Tue Sep 26 13:59:10 2006 Дата индексирования: Sat Dec 22 14:22:04 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: south pole

Алгебра, 1 курс, 2005/06 уч. год Линейная алгебра 1
31. Будет ли множество пар действительных чисел (x; y) векторным пространством над R
если сложение и умножение на число (c 2 R) определить как:
а) (x 1 ; y 1 ) + (x 2 ; y 2 ) = (x 1 + x 2 ; y 1 + y 2 ); c(x; y) = (cx; y);
б) (x 1 ; y 1 ) + (x 2 ; y 2 ) = (x 1 + x 2 ; 0); c(x; y) = (cx; 0);
в) (x 1 ; y 1 ) + (x 2 ; y 2 ) = (x 1 x 2 ; y 1 y 2 ); c(x; y) = ( cx; cy):
32. Пусть V векторное пространство. Покожите, что множество функций f : M ! V на
множестве M со значениями в V будет векторным пространством для поточечных операций
сложения и умножения на число.
33. Покажите, что множество комплекснозначных функций f : R ! C , таких что f( t) =
f(t) это линеное постранство относительно поточечных операций. Приведите пример такой
функции принимающей не только действительные значения.
34. Покажте, что если векторное пространство функций на множестве M (зад. 32) конечно-
мерно то множество M конечно.
35. Покажите, что эрмитовы матрицы n  n (H = (h ij ); h ij 2 C ; h ij = h ji ) образуют линейное
пространство над полем действительных чисел. Посчитайте размерность этого простран-
ства.
36. Пусть V 1 ; V 2  W векторные подпространства. Какие из ниже перечисленных множеств
тоже будут подпространствами. а) V 1
[ V 2
; б) V 1
\ V 2
; в) W n V 1
;
г) V 1 + V 2 := fv 1 + v 2 ; v 1
2 V 1 ; v 2
2 V 2
g:
37 (пространства многочленов). Найдите размерности пространств
а) многочленов степени не выше n от одной переменной;
б) многочленов степени не выше n от m переменных;
в) однородных многчленов степени n от m переменных;
г) однородных симетрических многочленов степени 8 от 4 переменных;
д) симетрических многочленов степени не выше чем 3 от 4 переменных.
38 (интерполяционная формула Лагранжа). Пусть k | поле. И пусть дано n + 1 попарно
различных точек a i 2 k. Постройте n + 1 многочлен f i 2 k[x] стпени 6 n, так чтобы f i (a j ) =
ф ij . Покажите, что f i базис в подпространстве V n всех многчленов степени не выше чем n.
Сколько в V n многочленов, принимающих значения b i в a i ? Приведите явный пример такого
многочлена.
39. Какова размерность пространства многочленов f 2 R степени 6 n, обращающихся в ноль
в точке 1 + 2i 2 C ?
310. Найдите размерности и базисы V 1 \ V 2 и V 1 + V 2 :
а) V 1
:=
1; 2; 0; 1

; 1; ; 1; 1; 0

; V 2
:=
1; 0; 1; 0

; 1; 3; 0; 1

;
б) V 1 :=
1; 1; 1; 1


; 1; 1; 1; 1


; 1; 3; 1; 3


,
V 2
:=
1; 2; 0; 2

; 1; 2; 1; 2

; 3; 1; 3; 1

;
311. Докажите линейную независимость систем фунций:
а) f1; sin x; cos x; sin 2x; cos 2x; : : : ; sin nx; cos nxg на [0; 2];
б) f1; sin x; sin 2 x; sin 3 x; : : : ; sin n xg на [0; 2];
в) fe  1 x ; e  2 x ; : : : ; e nx g на R ( 1 ;  2 ; : : : ;  n 2 R | разные числа);
г) fx  1 ; x  2 ; : : : ; x n g на R>0 ( 1
;  2
; : : : ;  n 2 R | разные числа).
312 (конечные пространства). Пусть V | n-мерное векторное пространство над конечным
полем из q элементов. Сколько в V : а) векторов; б) одномерных подпространств; в) базисов;
г) k-мерных подпространств?