Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f06/anex8.ps Дата изменения: Wed Nov 1 16:33:38 2006 Дата индексирования: Sat Dec 22 12:29:04 2007 Кодировка: koi8-r

Анализ, листок 8 (осень 2006, 1 семестр)
Ряды и интегралы
Если fa n g и fb n g | две числовые последовательности, то пишут
a n = O(b n ), если существует такое C > 0, что ja n j 6 C
jb n j для всех
n (или, что равносильно, для всех достаточно больших n). Ряд
P
a n
называется рядом с положительными членами, если все a j | неотрица-
тельные действительные числа.
1. Пусть
P
a n и
P
b n | ряды с положительными членами, причем a n =
O(b n ). Покажите, что если
P
b n сходится, то и
P
a n сходится.
2. Пусть fa n g | монотонно убывающая последовательность положитель-
ных чисел. Покажите, что ряд
P
a n сходится тогда и только тогда, ко-
гда сходится ряд
P
2 n a 2 n .
3. Пусть f : [1; +1) ! (0; +1) | монотонно убывающая непрерывная
функция. Покажите, что ряд
P
n2N f(n) сходится тогда и только тогда,
когда существует предел lim M!1
R M
1
f(x) dx.
4. Выясните, при каких p; q 2 R сходится ряд
P 1
n=2
1
n p (ln n) q .
5. Покажите, что существует предел
lim
n!1

1 + 1
2
+ : : : + 1
n

ln n

(этот предел называется постоянной Эйлера).
6. Пусть
P
a n | сходящийся ряд из действительных чисел.
а) Обязательно ли сходится ряд
P
a 2
n ?
б) Обязательно ли сходится ряд
P
a 3
n ?
7. Пусть X | топологическое пространство, fa n g | монотонно убываю-
щая и стремящаяся к нулю последовательность действительных чисел, и
пусть последовательность элементов f n 2 C(X) обладает тем свойством,
что kf 1 + : : : + f n k 6 M для некоторой константы M , не зависящей от
n. Покажите, что ряд
P
a n f n равномерно сходится.
8. Пусть fa n g | последовательность действительных чисел. Покажите,
что если ряд
P 1
n=1 (a n =n s ) сходится для некоторого s = s 0 2 R, то он
сходится равномерно по s на всяком отрезке, содержащемся в (s 0 ; +1).

(Если вы знакомы с соответствующими определениями, сделайте эту же
задачу для случая, когда s и a n могут быть комплексными числами.)
9. Положим, при s > 1,
(s) = 1 + 1
2 s + 1
3 s + : : :
(Ђдзета-функция РиманаЃ).
а) Покажите, что
(s) = lim
n!1
1
1 1
p s
1
: : : 1
1 1
p s
n
;
где через p n обозначено n-е простое число.
б) Найдите предел lim s!1+0 (s 1)(s).
в) Сходится ли ряд 1
p 1
+ 1
p 2
+ : : :?
10. Найдите предел
lim
n!1

1
n + 1 + 1
n + 2 + : : : + 1
2n

:
11. а) Вычислите индукцией по n интеграл
R =2
0
sin n x dx для всех n 2 N.
(Для самопроверки: при нечетных n ответ | рациональное число, при
четных | рациональное кратное числа .)
б) Выведите из пункта (а) и неравенств между различными степеня-
ми синуса следующую формулу:

2 = lim
n!1
(2
4
6
: : :
2n) 2
(1
3
5
: : :
(2n 1)) 2
(2n + 1) :
12. Пусть f : [a; b] ! C | непрерывная функция. Покажите, что
lim
t!+1
Z b
a
f(x) sin(tx) dx = 0:
2