Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f06/anex3.ps Дата изменения: Tue Sep 26 16:37:36 2006 Дата индексирования: Sat Dec 22 12:27:49 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: п п п п п п п 10

Анализ, листок 3 (осень 2006, 1 семестр)
Действительные числа
1. Докажите, что для всякого (ограниченного) подмножества X  R его верхняя грань
содержится в его замыкании.
2. Пусть A; B  R | два подмножества, обладающие тем свойством, что для всяких
a 2 A и b 2 B выполнено неравенство a 6 b. Покажите, что существует такое число
x 2 R, что a 6 x 6 b для всех a 2 A и b 2 B.
Точка a 2 Rназывается предельной точкой последовательности fx n g, если для всякой
окрестности U 3 a существует бесконечно много натуральных чисел n, обладающих тем
свойством, что x n 2 U (разумеется, это определение имеет смысл длля любого тополо-
гического пространства).
3. а) Покажите, что у всякой ограниченной последовательности действительных чисел
существуют наибольшая и наименьшаяч предельные точки (эти точки называются верх-
ним и нижним предлами последовательности).
б) Покажите, что последовательность действительных чисел имеет предел тогда и
только тогда, когда она ограничена и ее верхний предел равен нижнему.
4. Открытое подмножество в R содержит все рациональные точки отрезка [0; 1]. Обяза-
тельно ли это множество содержит весь отрезок [0; 1]?
5. Некоторое множество попарно непересекающихся отрезков прямой покрасили в белый
цвет. Может ли так случиться, что на любом отрезке есть белая точка? (Точка отрезком
не считается.)
6. Покажите, что для всякого замкнутого подмножества F  R существует последова-
тельность, множество предельных точек которой совпадает с F .
7. Найдите замыкание подмножества в R, состоящего из всевозможных чисел вида m+
n
p
2, где m и n целые.
8. Существует ли семейство подмножеств в N, имеющее мощность континуум и обла-
дающее тем свойством, что из любых двух множеств этого семейства одно обязательно
содержится в другом?
9. Рассмотрим функции из (0; +1) в (0; +1). Будем говорить, что функция f растёт
медленнее функции g (обозначение: f  g), если lim x!+1 f(x)=g(x) = 0.
(а) Верен ли для (частичного) порядка  Ђпринцип вложенных отрезковЃ: если
f 1  f 2  : : :  f n  : : :  g n  : : :  g 2  g 1 ;
то найдётся функция h, для которой f k  h  g k при всех k?
(б) Верна ли для порядка  Ђаксиома полнотыЃ: если любая функция из множества A
растёт быстрее любой функции из множества B, то найдётся функция, растущая мед-
леннее всех элементов множества A и быстрее всех элементов множества B?