Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f05/lie78.ps Дата изменения: Tue Oct 25 12:06:54 2005 Дата индексирования: Sat Dec 22 12:24:56 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: m 5

ГРУППЫ ЛИ АЛГЕБРЫ ЛИ
ЗАДАНИЕ 7{8
СИСТЕМЫ КОРНЕЙ
Для  2 R n пусть s  : R n ! R n | отражение относительно гиперплоскости, перпендикулярной .
Задача 1. Докажите, что s  () =  2 (;)
(;) .
Системой корней называется набор R ненулевых векторов в R n , таких что
1) R порождает R n ,
2) для ;  2 R выполнено s  () 2 R,
3) для ;  2 R выполнено s  ()  2 Z.
Задача 2. Найдите все системы корней в R.
Будем называть систему корней приведённой, если у неё нет сонаправленных векторов.
Задача 3. Докажите, что любая система корней содержит приведённую.
Задача 4. Пусть  | угол между корнями. Докажите, что 4 cos 2  | целое число. Выведите отсюда, что
любая система корней состоит из конечного числа векторов. Как могут соотноситься длины корней при
каждом ?
Проведём гиперплоскость в R n , не содержащую корней. Назовём корни по одну сторону от неё поло-
жительными. Положительные корни, не представимые в виде суммы двух положительных корней, назовём
простыми.
Задача 5. Докажите, что простые корни не могут образовывать острый угол. Выведите отсюда, что
простые корни образуют базис R n .
Задача 6. Докажите, что любой корень можно перевести в простой или пропорциональный ему с помощью
отражений. Выведите отсюда, что приведённая система корней определяется набором простых векторов.
Пусть  i , i = 1 : : : n, | простые корни. Определим матрицу Картана (n ij ) 1i;jn посредством
n ij = 2( i ;  j )=( j ;  j ):
Задача 7. Докажите, что матрица Картана | целочисленная и положительно определённая (определители
главных миноров положительны). Докажите, что её главные миноры | матрицы Картана подсистем корней.
Задача 8. Пусть n = 2. Докажите, что матрица Картана равна (с точностью до перенумировки простых
корней) одной из следующих:
(i)

2 0
0 2

(ii)

2 1
1 2

(iii)

2 2
1 2

(iv)

2 3
1 2

Нарисуйте соответствующие системы корней (в том числе неприведённые).
Диаграммой Дынкина назовём граф с рёбрами одного из следующих видов:
(i) (ii) (iii) (iv)
Сопоставим матрице Картана такой граф, в котором вершины нумеруют простые корни, а рёбра (i)-(iv)
кодируют соответствующий 2  2 минор (для (iii) и (iv) направление стрелки | в сторону более короткого
простого корня).
Задача 9. Докажите, что декартовому произведению систем корней соответствует несвязное объединение
диаграмм Дынкина.
И наоборот, всякой диаграмме соответствует по этому правилу обобщённая матрица Картана. Если она
положительно определена, то диаграмма Дынкина называется конечного типа.
1

2ГРУППЫ ЛИ АЛГЕБРЫ ЛИ ЗАДАНИЕ 7{8 СИСТЕМЫ КОРНЕЙ
Задача 10. Вычислите определитель обобщённых матриц Картана следующих графов:
Могут ли диаграммы конечного типа содержать такие подграфы?
Задача 11. Нарисуйте все диаграммы конечного типа для n = 3.
Задача 12. Докажите, что связные диаграммы конечного типа исчерпываются следующим списком:
Задача 13. Постройте системы корней для этих диаграмм (в том числе неприведённые). Убедитесь, что
они попарно неизоморфны.
Задача 14. Докажите, что диаграмма An соответствует системе корней SUn+1 , Bn | SO 2n+1 , Cn |
SP 2n , Dn | SO 2n .
Задача 15. Классифицируйте аффинные диаграммы Дынкина | для которых обобщённая матрица
Картана положительно полуопределена и имеет ранг n 1.