Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f05/calc1s2.ps Дата изменения: Wed Sep 14 17:24:58 2005 Дата индексирования: Sat Dec 22 14:11:39 2007 Кодировка: koi8-r

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ, 1 СЕМЕСТР
ЗАДАЧИ{2 (ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА)
Пусть X | топологическое пространство (например, N), а M = Q, R или C . Отображение f : X ! M
называется фундаментальным в точке a 2 X, если lim x;y!a jf(x) f(y)j = 0, где предел понимается как
предел отображения ' : X X ! R, заданного формулой '(x; y) = jf(x) f(y)j.
Задача 1. а) Расшифруйте это определение для случая X = N, a = 1 и для случая X = R. б) Докажите,
что отображение f : X ! M , фундаментальное в точке a, ограничено в некоторой окрестности точки a
(иными словами, сушествует окрестность U  X точки a и шар B(A; r)  M такие, что f(U )  B(A; r)).
в) Докажите, что если lim x!a f(x) существует, то f фундаментально в точке a.
Две последовательности fan g и fb ng рациональных чисел назовем эквивалентными (обозначение an  b n ),
если lim n!1 (a n b n ) = 0.
Задача 2. а) Докажите, что описанное отношение действительно является отношением эквивалентности,
то есть обладает свойствами
1) рефлексивности: an  an для всякой последовательности an ,
2) симметричности: если an  b n , то b n  an ,
3) транзитивности: если an  b n и b n  c n , то an  c n .
б) Докажите, что если последовательность an фундаментальна (в точке 1), то всякая эквивалентная ей
последовательность тоже фундаментальна.
Действительным числом называется класс эквивалентности фундаментальных последовательностей ра-
циональных чисел.
Задача 3. а) Пусть an и b n | две фундаментальные последовательности рациональных чисел, причем
существуют сколь угодно большие p такие, что a p < b p и одновременно | сколь угодно большие q такие, что
a q > b q . Докажите, что последовательности an и b n эквивалентны. б) Дайте определение понятия \больше"
для действительных чисел, и докажите, что в каждой паре различных действительных чисел ровно одно из
них больше другого.
Задача 4. Докажите, что фундаментальная последовательность рациональных чисел представляет данное
действительное число тогда и только тогда, когда она сходится к этому числу.
Задача 5. Пусть an и b n | фундаментальные последовательности рациональных чисел, a 0
n  an , b 0
n  b n .
Докажите, что а) последовательности an , an + b n и an b n фундаментальны, б) a 0
n  an , a 0
n + b 0
n 
an + b n , a 0
n b 0
n  an b n , в) если последовательность an не сходится к нулю, то последовательность 1=an также
фундаментальна, и 1=a 0
n  1=an . г) Дайте определение действий над действительными числами и докажите,
что действия над действительными числами удовлетворяют аксиомам поля: сложение и умножение не зависят
от расстановки скобок (ассоциативны) и от порядка слагаемых (коммутативны), имеет место тождество
дистрибутивности ( + ) =  +  , существуют нуль и единица, удовлетворяющие тождествам  + 0 =
 = 
1, всякое число имеет противоположное и всякое число, кроме нуля, имеет обратное. д) Докажите,
что сумма и произведение двух положительных чисел положительны.
Интервалом (; ) называется множество fx 2 R j  < x < g.
Задача 6. а) Докажите, что для всякого  2 R существует единственное целое число n такое, что n 
 < n + 1. б) Докажите, что всякое действительное число однозначно представимо в виде бесконечной
десятичной дроби, т.е. в виде n +
P 1
k=1 a k =10 k , где n 2 Z, a k 2 f0; 1; : : : ; 9g и последовательность fa k g не
содержит бесконечного \хвоста" из девяток (8N9k > N a k 6= 9).
Задача 7. а) Докажите теорему Коши: если последовательность an 2 R фундаментальна (в точке 1), то
предел lim n!1 an существует. б) Докажите обобщение теоремы Коши: пусть топологическое пространство
X имеет счетную базу окрестностей, т.е. базу окрестностей, элементы которой находятся во взаимно одно-
значном соответствии с множеством натуральных чисел: U 1 ; U 2 ; : : : . Тогда всякое отображение f : X ! R,
фундаментальное в точке a 2 X, имеет в этой точке предел lim x!a f(x) 2 R.
Задача 8. Докажите, что возрастающая последовательность действительных чисел, ограниченная сверху,
имеет предел.
Задача 9. Докажите принцип вложенных отрезков: пусть [a 1 ; b 1 ]  [a 2 ; b 2 ]  : : : | последовательность
вложенных отрезков действительной прямой. Тогда пересечение T
n
[a n ; b n ] непусто.
1

Пусть X  R. Число M 2 R называется точной верхней гранью множества X (запись M = sup X), если
оно ограничивает X сверху, но никакое меньшее число этим свойством уже не обладает: 8x 2 X x  M и
8m < M9x 2 X x > m.
Задача 10. Докажите, что всякое ограниченное сверху множество действительных чисел имеет точную
верхнюю грань.
Задача 11. Докажите, что множество R несчетно, то есть не существует взаимно однозначного отображе-
ния f : N! R. Несчетно также и множество точек любого отрезка.
Задача 12. Докажите, что а) множество целых чисел счетно, б) декартово произведение двух счетных
множеств счетно, в) бесконечное подмножество счетного множества счетно, г) множество рациональных
чисел счетно.
Задача 13. Докажите, что всякий отрезок действительной оси (отличный от точки) содержит как рацио-
нальные, так и иррациональные числа.
Задача 14. Докажите, что множество интервалов с рациональными концами образует счетную базу топо-
логии в R.