Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f05/cal2s2.ps Дата изменения: Wed Sep 28 17:51:39 2005 Дата индексирования: Sat Dec 22 12:59:01 2007 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п

НМУ, 2 курс, анализ на многообразиях. Листок 2.
Риманова метрика. 23.09.2005
Задача 1. Докажите, что в подходящих координатах индуцированная из
R 3 метрика на поверхности вращения имеет вид
ds 2 = du 2 + g(u)dv 2 :
Задача 2. Найдите описанные выше координаты для тора.
Задача 3. Вычислить метрику на стандартной единичной сфере в R 3 в
координатах u и v; возникающих при стереографической проекции. Записать
ее через z = u + iv;  z = u iv:
Задача 4. На параметрической поверхности
~ r = (u cos v; u sin v; av)
найти угол между пересекающимися кривыми
u + v = 0; и u v = 0:
Задача 5. Проверьте, что матричнозначная функция
R 2
(1 + u 2 + v 2 ) 2

1 + v 2 uv
uv 1 + u 2

задает метрику на плоскости (u; v) и найдите длину кривой u = v:
Задача 6. Найдите кривые, которые делят пополам углы между координатными
линиями на параболоиде вращения
x = u cos v; y = u sin v; z =
1
2
u 2 :
Задача 7. Пусть метрика на поверхности в локальных координатах имеет
вид
ds 2 = du 2 + (u 2 + a 2 )dv 2 :
Найти площадь треугольника, образованного пересечением кривых
u = av; v = 1:
Задача 8. Доказать, что отображение
' = v + arctg ; r 2
=  2
+ 1
коноида
x =  cos v; y =  sin v; z =  + v
на гиперболоид вращения
x = r cos '; y = r sin '; z =
p
r 2 1
является изометрией.